題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)
處的切線的斜率是
.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)求在區(qū)間
上的最大值;
(Ⅲ)對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù),曲線
上是否存在兩點(diǎn)P、Q,使得
是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在
軸上?說(shuō)明理由.
【解析】第一問(wèn)當(dāng)時(shí),
,則
。
依題意得:,即
解得
第二問(wèn)當(dāng)時(shí),
,令
得
,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值
第三問(wèn)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿(mǎn)足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在
軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則
,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;
若方程(*)無(wú)解,不存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),
,則
。
依題意得:,即
解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①當(dāng)時(shí),
,令
得
當(dāng)變化時(shí),
的變化情況如下表:
|
|
0 |
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又,
,
�!�
在
上的最大值為2.
②當(dāng)時(shí),
.當(dāng)
時(shí),
,
最大值為0;
當(dāng)時(shí),
在
上單調(diào)遞增�!�
在
最大值為
。
綜上,當(dāng)時(shí),即
時(shí),
在區(qū)間
上的最大值為2;
當(dāng)時(shí),即
時(shí),
在區(qū)間
上的最大值為
。
(Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿(mǎn)足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在
軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則
,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;
若方程(*)無(wú)解,不存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
若,則
代入(*)式得:
即,而此方程無(wú)解,因此
。此時(shí)
,
代入(*)式得: 即
(**)
令
,則
∴在
上單調(diào)遞增, ∵
∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對(duì)于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。
因此,對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù),曲線
上存在兩點(diǎn)P、Q,使得
是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在
軸上
已知函數(shù)的最小值為0,其中
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若對(duì)任意的有
≤
成立,求實(shí)數(shù)
的最小值;
(Ⅲ)證明(
).
【解析】(1)解:
的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118530600520067_ST.files/image010.png">
由,得
當(dāng)x變化時(shí),,
的變化情況如下表:
x |
|
|
|
|
- |
0 |
+ |
|
|
極小值 |
|
因此,在
處取得最小值,故由題意
,所以
(2)解:當(dāng)時(shí),取
,有
,故
時(shí)不合題意.當(dāng)
時(shí),令
,即
令,得
①當(dāng)時(shí),
,
在
上恒成立。因此
在
上單調(diào)遞減.從而對(duì)于任意的
,總有
,即
在
上恒成立,故
符合題意.
②當(dāng)時(shí),
,對(duì)于
,
,故
在
上單調(diào)遞增.因此當(dāng)取
時(shí),
,即
不成立.
故不合題意.
綜上,k的最小值為.
(3)證明:當(dāng)n=1時(shí),不等式左邊==右邊,所以不等式成立.
當(dāng)時(shí),
在(2)中取,得
,
從而
所以有
綜上,,
設(shè)函數(shù),其中
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)記曲線在點(diǎn)
(其中
)處的切線為
,
與
軸、
軸所圍成的三角形面積為
,求
的最大值.
【解析】第一問(wèn)利用由已知,所以
,
由,得
,
所以,在區(qū)間
上,
,函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞減;
在區(qū)間
上,
,函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞增;
第二問(wèn)中,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091130522182623148_ST.files/image020.png">,所以曲線在點(diǎn)
處切線為
:
.
切線與
軸的交點(diǎn)為
,與
軸的交點(diǎn)為
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091130522182623148_ST.files/image006.png">,所以,
, 在區(qū)間
上,函數(shù)
單調(diào)遞增,在區(qū)間
上,函數(shù)
單調(diào)遞減.所以,當(dāng)
時(shí),
有最大值,此時(shí)
,
解:(Ⅰ)由已知,所以
,
由
,得
, 所以,在區(qū)間
上,
,函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞減;
在區(qū)間上,
,函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞增;
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
,單調(diào)遞增區(qū)間為
.
(Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091130522182623148_ST.files/image020.png">,所以曲線在點(diǎn)
處切線為
:
.
切線與
軸的交點(diǎn)為
,與
軸的交點(diǎn)為
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091130522182623148_ST.files/image006.png">,所以,
, 在區(qū)間
上,函數(shù)
單調(diào)遞增,在區(qū)間
上,函數(shù)
單調(diào)遞減.所以,當(dāng)
時(shí),
有最大值,此時(shí)
,
所以,的最大值為
設(shè)函數(shù).
(Ⅰ) 當(dāng)時(shí),求
的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ) 若在
上的最大值為
,求
的值.
【解析】第一問(wèn)中利用函數(shù)的定義域?yàn)椋?,2),
.
當(dāng)a=1時(shí),所以
的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,
),單調(diào)遞減區(qū)間為(
,2);
第二問(wèn)中,利用當(dāng)時(shí),
>0, 即
在
上單調(diào)遞增,故
在
上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
解:函數(shù)的定義域?yàn)椋?,2),
.
(1)當(dāng)時(shí),
所以
的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,
),單調(diào)遞減區(qū)間為(
,2);
(2)當(dāng)時(shí),
>0, 即
在
上單調(diào)遞增,故
在
上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
已知函數(shù).(
)
(1)若在區(qū)間
上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)若在區(qū)間上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方,求
的取值范圍.
【解析】第一問(wèn)中,首先利用在區(qū)間
上單調(diào)遞增,則
在區(qū)間
上恒成立,然后分離參數(shù)法得到
,進(jìn)而得到范圍;第二問(wèn)中,在區(qū)間
上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方等價(jià)于
在區(qū)間
上恒成立.然后求解得到。
解:(1)在區(qū)間
上單調(diào)遞增,
則在區(qū)間
上恒成立. …………3分
即,而當(dāng)
時(shí),
,故
.
…………5分
所以.
…………6分
(2)令,定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061918574873515193/SYS201206191859562664899842_ST.files/image016.png">.
在區(qū)間上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方等價(jià)于
在區(qū)間
上恒成立.
∵ …………9分
① 若,令
,得極值點(diǎn)
,
,
當(dāng),即
時(shí),在(
,+∞)上有
,此時(shí)
在區(qū)間
上是增函數(shù),并且在該區(qū)間上有
,不合題意;
當(dāng),即
時(shí),同理可知,
在區(qū)間
上遞增,
有,也不合題意;
…………11分
② 若,則有
,此時(shí)在區(qū)間
上恒有
,從而
在區(qū)間
上是減函數(shù);
要使在此區(qū)間上恒成立,只須滿(mǎn)足
,
由此求得的范圍是
. …………13分
綜合①②可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)
的圖象恒在直線
下方.
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