題目列表(包括答案和解析)
已知直線的極坐標(biāo)方程是
.以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點,極軸為
軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,在曲線
上求一點,使它到直線
的距離最小,并求出該點坐標(biāo)和最小距離
已知曲線的極坐標(biāo)方程是
,以極點為原點,極軸為
軸正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位.
(1)寫出曲線的普通方程,并說明它表示什么曲線;
(2)過點作傾斜角為
的直線
與曲線
相交于
兩點,求線段
的長度和
的值.
已知曲線的極坐標(biāo)方程是
,以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點,極軸為
軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,曲線
的參數(shù)方程是:
(
是參數(shù)).
(1)將曲線和曲線
的方程轉(zhuǎn)化為普通方程;
(2)若曲線與曲線
相交于
兩點,求證
;
(3)設(shè)直線交于兩點
,且
(
且
為常數(shù)),過弦
的中點
作平行于
軸的直線交曲線
于點
,求證:
的面積是定值.
已知直線的極坐標(biāo)方程是
.以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點,極軸為
軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,在曲線
上求一點,使它到直線
的距離最小,并求出該點坐標(biāo)和最小距離
說明:
一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力,并給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與本解答不同,可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評分細(xì)則.
二、對計算題,當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時,如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度,可視影響的程度決定后繼部分的給分,但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半;如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤,就不再給分.
三、解答右端所注分?jǐn)?shù),表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).
四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù),選擇題和填空題不給中間分.
一、選擇題:本題考查基本知識和基本運算,每小題5分,滿分50分.
1. A 2. C 3. C 4.C 5.D 6.D 7. B 8. D 9. B 10. C
二、填空題:本題考查基本知識和基本運算,每小題4分,滿分20分.
11. 12.38 12. 5 13. 3 14.
15. ②③
三、解答題:本大題共6小題,共80分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
16. 本小題主要考查正弦定理、三角函數(shù)的倍角公式、兩角和公式等基本知識,考
查學(xué)生的運算求解能力. 滿分13分.
解:(Ⅰ)由,知
………………………(2分)
又,得
,
,
………………………(5分)
故
………………………(6分)
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,
………………………………(9分)
,
當(dāng),即
時,
取得最大值為
. ……………(13分)
17. 本題主要考查線線、線面、面面位置關(guān)系,線面角等基本知識,考查空間想像能力,運算求解能力和推理論證能力.
滿分13分.
解:(Ⅰ)證明:如圖,取
中點
,連結(jié)
,
;
∥
,
∥
,
又,
,
,…………(3分)
四邊形為平行四邊形,
∥
,
又平面
,
平面
,
∥平面
.
………………………(6分)
(Ⅱ)依題意知平面平面
,
,
平面
,得
又,
.
如圖,以為原點,建立空間直角坐標(biāo)系
-xyz,
,可得
、
、
,
.
設(shè)平面的一個法向量為
,
由 得
解得,
.
………………………(9分)
設(shè)線段上存在一點
,其中
,則
,
,
依題意:,即
,
可得,解得
(舍去).
所以上存在一點
. …………(13分)
18.本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基本知識,考查運用數(shù)學(xué)知識分析問題與解決問題的能力,
考查應(yīng)用意識. 滿分13分.
解:(Ⅰ)依題意,
銷售價提高后為6000(1+)元/臺,月銷售量為
臺……………(2分)
則
……………………(4分)
即. ……………………(6分)
(Ⅱ)
令,得
,
解得舍去).
……………………(9分)
當(dāng) 當(dāng)
當(dāng)時,
取得最大值.
此時銷售價為元.
答:筆記本電腦的銷售價為9000元時,電腦企業(yè)的月利潤最大.…………………(13分)
19.本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的解法等基本知識,考查運算求解能力和分析問題、解決問題的能力.
滿分13分
解:(Ⅰ)因為橢圓的一個焦點是(1,0),所以半焦距
=1.
因為橢圓兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形.
所以,解得
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. …(4分)
(Ⅱ)(i)設(shè)直線
:
與
聯(lián)立并消去
得:
.
記,
,
,
. ……………(5分)
由A關(guān)于軸的對稱點為
,得
,
根據(jù)題設(shè)條件設(shè)定點為(
,0),
得,即
.
所以
即定點(1 ,
0).
……………………………………(8分)
(ii)由(i)中判別式,解得
.
可知直線過定點
(1,0).
所以 ……………(10分)
得, 令
記,得
,當(dāng)
時,
.
在
上為增函數(shù).
所以 ,
得.
故△OA1B的面積取值范圍是.
……………(13分)
20. 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、等差數(shù)列、不等式等基本知識,考查運用合理的推理證明解
決問題的方法,考查分類與整合及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想. 滿分14分.
解:(Ⅰ)因為,
所以.
………………(1分)
(i)當(dāng)時,
.
(ii)當(dāng)時,由
,得到
,知在
上
.
(iii)當(dāng)時,由
,得到
,知在
上
.
綜上,當(dāng)時,
遞增區(qū)間為
;當(dāng)
時,
遞增區(qū)間為
.
………………………………………(4分)
(Ⅱ)(i)因為,
所以,即
,
,即
. ……………………………………(6分)
因為,
當(dāng)時,
,
當(dāng)時,
,
所以.
…………………………(8分)
又因為,
所以令,則
得到與
矛盾,所以
不在數(shù)列
中. ………(9分)
(ii)充分性:若存在整數(shù),使
.
設(shè)為數(shù)列
中不同的兩項,則
.
又且
,所以
.
即是數(shù)列
的第
項. ……………………(10分)
必要性:若數(shù)列中任意不同兩項之和仍為數(shù)列
中的項,
則,
,(
,
為互不相同的正整數(shù))
則,令
,
得到
,
所以,令整數(shù)
,所以
. ……(11
分)
下證整數(shù)
若設(shè)整數(shù)則
.令
,
由題設(shè)取使
即,所以
即與
相矛盾,所以
.
綜上, 數(shù)列中任意不同兩項之和仍為數(shù)列
中的項的充要條件是存在整數(shù)
,使
.
……………………(14分)
21. (1)本題主要考查矩陣乘法、逆矩陣與變換等基本知識,考查運算求解能力, 滿分7分.
解: ,即
,
所以 得
……………………(4分)
即M=
,由
得
.
或
=1
,
. …………………(7分)
(2)本題主要考查圓極坐標(biāo)方程和直線參數(shù)方程等基本知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想. 滿分7分.
解:曲線的極坐標(biāo)方程
可化為
,
其直角坐標(biāo)方程為,即
. ……………(2分)
直線的方程為
.
所以,圓心到直線的距離
……………………(5分)
所以,的最小值為
.
…………………………(7分)
(3)本題主要考查柯西不等式與不等式解法等基本知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想. 滿分7分.
解:由柯西不等式:
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