如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，連結(jié)DE，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線(xiàn)AE-ED-DB運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止．點(diǎn)P在折線(xiàn)AE-ED上以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，在DB上以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng). 過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，以PQ為邊在PQ右側(cè)作正方形PQMN，使點(diǎn)M落在線(xiàn)段BC上．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（）.

（1）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求正方形PQMN的頂點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)對(duì)應(yīng)的的值；
（2）連結(jié)BE，設(shè)正方形PQMN與△BED重疊部分圖形的面積為S，請(qǐng)直接寫(xiě)出S與之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量的取值范圍；
（3）當(dāng)正方形PQMN頂點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)E重合時(shí)，將正方形PQMN繞點(diǎn)Q逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得正方形
P₁ Q M₁ N₁，問(wèn)在直線(xiàn)DE與直線(xiàn)AC上是否存在點(diǎn)G和點(diǎn)H，使△GHP₁是等腰直角三角形? 若
存在，請(qǐng)求出EG的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．