如圖1，有一塊30°、60°、90°的三角板所對應(yīng)的點為A、B、C，斜邊AB為4個單位長度，且A、B兩點分別在x軸、y軸上滑動，記∠BAO=α．（當B點與O點重合時，記α=0°，如圖2所示；當A點與O點重合時，記α=90°，如圖3所示）．

（1）當α=0°時，直接寫出點C的坐標______；當α=90°時，直接寫出點C的坐標______；
（2）當α=60°時，直接寫出點C的坐標______；
（3）請從α=15°、α=30°、α=45°、α=75°中任意選兩個角度，分別求出點C的坐標；（其中一個寫出詳細的求解過程，另一個直接寫出答案）當α=______時，點C的坐標為______；
（4）根據(jù)前面的探索，當α為任意銳角時，你認為點C是否會落在某條線段上運動，若存在，請寫出這條線段所在直線的函數(shù)表達式及自變量的取值范圍；若不存在，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin15°=cos75°=，sin75°=cos15°=）