△ABC中，∠C = 90°，AB = 1，tan A =，過AB邊上一點P作PE⊥AC于E，PF⊥BC

于 F，E、F是垂足，則EF的最小值等于            ．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠B=，D為AB邊上一點，DE⊥CD于D，交直線AC于E，過點A作AF⊥AB交直線DE于F．
（1）如圖（1），求證：△AEF∽△BCD；
（2）如圖（2），若CD=DF，求的值；
（3）如圖（3），若將題干中的點D的位置改為在BA的延長線上，其他的條件不變，且滿足CD=DF，AB=13cm．請直接寫出此時AE=______cm．

如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“好玩三角形”

（1）請用直尺與圓規(guī)畫一個“好玩三角形”；
（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，，求證：△ABC是“好玩三角形”；
（3）如圖2，已知菱形ABCD的邊長為a, ∠ABC=2β，點P，Q從點A同時出發(fā)，以相同的速度分別沿折線AB－BC和AD－DC向終點C運動，記點P所經(jīng)過的路程為s
①當(dāng)β=45°時，若△APQ是“好玩三角形”，試求的值；
②當(dāng)tanβ的取值在什么范圍內(nèi)，點P，Q在運動過程中，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”？請直接寫出tanβ的取值范圍。
（4）本小題為選做題
依據(jù)（3）中的條件，提出一個關(guān)于“在點P，Q的運動過程中，tanβ的取值范圍與△APQ是“好玩三角形”的個數(shù)關(guān)系”的真命題（“好玩三角形”的個數(shù)限定不能為1）。