如圖，四邊形OABC為直角梯形，A（4，0〕，B（3，4〕，C（0，4〕．點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向A運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，其中一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．過點(diǎn)Q作 QD丄x軸，垂足為點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．
（1）求△APE的面積S與運(yùn)動時(shí)間t（單位：秒）的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的 取值范圍；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大；
（3）是否存在點(diǎn)P，使得△APE為直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

（2008•白下區(qū)二模）如圖，四邊形OABC為直角梯形，A（4，0〕，B（3，4〕，C（0，4〕．點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向A運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，其中一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．過點(diǎn)Q作 QD丄x軸，垂足為點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．
（1）求△APE的面積S與運(yùn)動時(shí)間t（單位：秒）的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的 取值范圍；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大；
（3）是否存在點(diǎn)P，使得△APE為直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．