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過拋物線的對(duì)稱軸上的定點(diǎn),作直線與拋物線相交于兩點(diǎn).
(I)試證明兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值;
(II)若點(diǎn)是定直線上的任一點(diǎn),試探索三條直線的斜率之間的關(guān)系,并給出證明.
【解析】本題主要考查拋物線與直線的位置關(guān)系以及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.
(1)中證明:設(shè)下證之:設(shè)直線AB的方程為: x=ty+m與y2=2px聯(lián)立得消去x得y2=2pty-2pm=0,由韋達(dá)定理得
(2)中:因?yàn)槿龡l直線AN,MN,BN的斜率成等差數(shù)列,下證之
設(shè)點(diǎn)N(-m,n),則直線AN的斜率KAN=,直線BN的斜率KBN=
KAN+KBN=+
本題主要考查拋物線與直線的位置關(guān)系以及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.
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