田忌和齊王賽馬是歷史上著名的故事.設齊王的三匹馬分別記為.田忌的三匹馬分別記為.三匹馬各比賽一場.勝兩場者獲勝.若這六匹馬比賽優(yōu)劣程度可用不等式表示.(Ⅰ)如果雙方均不知道比賽的對陣方式.求田忌獲勝的概率,(Ⅱ)田忌為了得到更大的獲勝概率.預先派出探子到齊王處打探實情.得知齊王第一場必出上等馬.那么.田忌應該怎樣安排出馬順序.才能使自己獲勝的概率最大?最大概率是多少? 20090520 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

 

一、選擇題

AACCD   BBDDD   AC

二、填空題

13.    14.T13    15.①⑤    16.

三、解答題

17.解:(Ⅰ)因為,

由正弦定理,得,              ……3分

整理,得

因為、的三內角,所以,    

因此  .                                                 ……6分

   (Ⅱ),即,                ……8分

由余弦定理,得,所以,      ……10分

解方程組,得 .                       ……12分

18.(本題滿分12分)

解法一:記的比賽為,

  (Ⅰ)齊王與田忌賽馬,有如下六種情況:

,,

, ,

, .  ………………………3分

  其中田忌獲勝的只有一種,所以田忌獲勝的概率為

   …………………………………………………………………………………………6分

(Ⅱ)已知齊王第一場必出上等馬,若田忌第一場出上等馬或中等馬,則剩下兩場中至少輸?shù)粢粓,這時田忌必。

為了使自己獲勝的概率最大,田忌第一場應出下等馬,后兩場有兩種情形:

①若齊王第二場派出中等馬,可能對陣情形是

或者、,所以田忌獲勝的概率為; ………………………9分

②若齊王第二場派出下等馬,可能對陣情形是

或者,所以田忌獲勝的概率為,

所以田忌按或者的順序出馬,才能使自己獲勝的概率達到最大值

   ………………………………………………………………………………………12分

解法二:各種對陣情況列成下列表格:

 

 

1

2

3

4

5

6

                            ………………………3分

(Ⅰ)其中田忌獲勝的只有第五種這一種情形,所以田忌獲勝的概率為.……6分

(Ⅱ)為了使自己獲勝的概率最大,田忌第一場應出下等馬,即只能是第五、第六兩種情形.  …………………………………………………9分

其中田忌獲勝的只有第五種這一種情形,所以田忌按或者的順序出馬,才能使自己獲勝的概率達到最大值.………………………12分

19.(本題滿分12分)

解證: (Ⅰ) 連結連結,

∵四邊形是矩形 

中點

中點,從而 ------------3分

平面,平面

∥平面。-----------------------5分

(Ⅱ)(方法1)

三角形的面積-------------------8分

到平面的距離為的高 

---------------------------------11分

因此,三棱錐的體積為。------------------------------------12分

(方法2)

,

為等腰,取底邊的中點,

的面積 -----------8分

,∴點到平面的距離等于到平面

的距離,

由于,,

,

,則就是到平面的距離,

,----------11

---------------------12分

(方法3)

到平面的距離為的高 

∴四棱錐的體積------------------------9分

三棱錐的體積

  ∴---------------------------------------------11分

       因此,三棱錐的體積為。-------------------------------------12分

20.(Ⅰ)依題意知,                                                     

,

.                                        

∴所求橢圓的方程為.                     ……4分              

(Ⅱ)設點關于直線的對稱點為,

                           ……6分                 

解得:,.                 ……8分               

.                                ……10分           

∵ 點在橢圓:上,

, 則

的取值范圍為.                      ……12分

21.解:(Ⅰ)由知,定義域為

.     ……………………3分

時,,                    ………………4分

時, .                            ………………5分

所以的單調增區(qū)間是,

的單調減區(qū)間是.           …………………… ………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,上單調遞增,

上單調遞減,在上單調遞增,且當時,

, 所以的極大值為,

極小值為.   ………………………8分

又因為, 

,  ………10分

所以在的三個單調區(qū)間上,

直線的圖象各有一個交點,

當且僅當, 因此,

的取值范圍為.   ………………12分

22.解:(Ⅰ)當時,  ……………………………3分

       ∴=

      =

      =

      =  …………………………………7分

       (Ⅱ)  

  +

+

=

= ……………13分

當且僅當,即時,最。14分

 


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