1.解:=,=,
∴ ,選B.
3.本卷共10小題,共90分。
⒀、已知正四棱錐的體積為12,底面對(duì)角線的長(zhǎng)為,則側(cè)面與底面所成的二面角等于_______________。
⒁、設(shè),式中變量滿足下列條件
則z的最大值為_(kāi)____________。
⒂、安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有__________種。(用數(shù)字作答)
⒃、設(shè)函數(shù)。若是奇函數(shù),則__________。
⒄、(本小題滿分12分)
的三個(gè)內(nèi)角為,求當(dāng)A為何值時(shí),取得最大值,并求出這個(gè)最大值。
⒅、(本小題滿分12分)
A、B是治療同一種疾病的兩種藥,用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)。每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成,其中2只服用A,另2只服用B,然后觀察療效。若在一個(gè)試驗(yàn)組中,服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多,就稱該試驗(yàn)組為甲類組。設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為,服用B有效的概率為。
(Ⅰ)求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率;
(Ⅱ)觀察3個(gè)試驗(yàn)組,用表示這3個(gè)試驗(yàn)組中甲類組的個(gè)數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望。
⒆、(本小題滿分12分)
如圖,、是互相垂直的異面直線,MN是它們的公垂線段。點(diǎn)A、B在上,C在上,。
(Ⅰ)證明⊥;
(Ⅱ)若,求與平面ABC所成角的余弦值。
⒇、(本小題滿分12分)
在平面直角坐標(biāo)系中,有一個(gè)以和為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓,設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C,動(dòng)點(diǎn)P在C上,C在點(diǎn)P處的切線與軸的交點(diǎn)分別為A、B,且向量。求:
(Ⅰ)點(diǎn)M的軌跡方程;
(Ⅱ)的最小值。
(21)、(本小題滿分14分)
已知函數(shù)。
(Ⅰ)設(shè),討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)若對(duì)任意恒有,求的取值范圍。
(22)、(本小題滿分12分)
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和
,
(Ⅰ)求首項(xiàng)與通項(xiàng);
(Ⅱ)設(shè),,證明:
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
B
C
B
C
A
D
B
B
B
2.第Ⅱ卷共2頁(yè),請(qǐng)用黑色簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答,在試題卷上作答無(wú)效。
1.答題前,考生在答題卡上務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,并貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。
⑾、用長(zhǎng)度分別為2、3、4、5、6(單位:)的5根細(xì)木棒圍成一個(gè)三角形(允許連接,但不允許折斷),能夠得到的三角形的最大面積為
A. B. C. D.
⑿、設(shè)集合。選擇I的兩個(gè)非空子集A和B,要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù),則不同的選擇方法共有
A. B. C. D.
2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試
理科數(shù)學(xué)
第Ⅱ卷
注意事項(xiàng):
1.考生不能將答案直接答在試卷上,必須答在答題卡上.
22.解:(I)由已知得
又
是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列.
(II)由(I)知,
將以上各式相加得:
(III)解法一:
存在,使數(shù)列是等差數(shù)列.
數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)
即
又
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),數(shù)列為等差數(shù)列.
解法二:
存在,使數(shù)列是等差數(shù)列.
由(I)、(II)知,
又
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),數(shù)列是等差數(shù)列.
21.解:設(shè)橢圓方程為
(Ⅰ)由已知得
∴所求橢圓方程為 .
(Ⅱ)解法一:由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為
由,消去y得關(guān)于x的方程:
由直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),
解得
又由韋達(dá)定理得
原點(diǎn)到直線的距離
.
解法1:對(duì)兩邊平方整理得:
(*)
∵,
整理得:
又,
從而的最大值為,
此時(shí)代入方程(*)得
所以,所求直線方程為:.
解法2:令,
則
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),
此時(shí).
所以,所求直線方程為
解法二:由題意知直線l的斜率存在且不為零.
設(shè)直線l的方程為,
則直線l與x軸的交點(diǎn),
由解法一知且,
解法1:
=
.
下同解法一.
解法2:
下同解法一.
20.解法一:
平面,
又,
由平面幾何知識(shí)得:
(Ⅰ)過(guò)做交于于,連結(jié),則或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角,
四邊形是等腰梯形,
又
四邊形是平行四邊形。
是的中點(diǎn),且
又,
為直角三角形,
在中,由余弦定理得
故異面直線PD與所成的角的余弦值為
(Ⅱ)連結(jié),由(Ⅰ)及三垂線定理知,為二面角的平面角
,
二面角的大小為
(Ⅲ)連結(jié),
平面平面,
又在中,
,
,
故時(shí),平面
解法二:
平面
又,,
由平面幾何知識(shí)得:
以為原點(diǎn),分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則各點(diǎn)坐標(biāo)為,,,,,
(Ⅰ),
,
。
。
故直線與所成的角的余弦值為
(Ⅱ)設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
由于,,
由 得
取,又已知平面ABCD的一個(gè)法向量,
又二面角為銳角,
所求二面角的大小為
(Ⅲ)設(shè),由于三點(diǎn)共線,,
平面,
由(1)(2)知:
,。
故時(shí),平面。
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