20．(本小題滿分12分)(1)求證：≤2(n∈N^*)；

(2)求證：(1+x)ⁿ+(1－x)ⁿ<2ⁿ，其中|x|<1，n≥2，n∈N^*.

證明：(1)要證≤2(n∈N^*)，只需證n+1≤2ⁿ即可．∵2ⁿ＝(1+1)ⁿ＝C+C+…+C≥C+C＝1+n，∴≤2(n∈N^*)，當(dāng)n＝1時(shí)等號(hào)成立．

(2)(1+x)ⁿ+(1－x)ⁿ＝2(1+Cx²+Cx⁴+…+C·x^2k+…)．∵|x|<1，∴0<x^2k<1.

∴(1+x)ⁿ+(1－x)ⁿ<2(1+C+C+…+C+…)＝2·2^n－1＝2ⁿ，成立．

19．(本小題滿分12分)球臺(tái)上有4個(gè)黃球，6個(gè)紅球，擊黃球入袋記2分，擊紅球入袋記1分，欲將此十球中的4球擊入袋中，但總分不低于5分，則擊球方法有幾種？

解：設(shè)擊入黃球x個(gè)，紅球y個(gè)符合要求，

則有(x，y∈N)，

由題意，得1≤x≤4，

∴相應(yīng)每組解(x，y)，擊球方法數(shù)分別為CC，CC，CC，CC.∴共有不同擊球方法數(shù)為CC+CC+CC+CC＝195.

18．(本小題滿分12分)已知在ⁿ的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．

(1)求n；

(2)求含x²的項(xiàng)的系數(shù)；

(3)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)．

解：(1)通項(xiàng)公式為T_r+1＝Cx(－)^rx－

＝C(－)^rx，

因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以r＝5時(shí)，

有＝0，即n＝10.

(2)令＝2，得r＝(n－6)＝2，

∴所求的系數(shù)為C(－)²＝.

(3)根據(jù)通項(xiàng)公式，由題意得

令＝k(k∈Z)，則10－2r＝3k，即r＝5－k，

∵r∈Z，∴k應(yīng)為偶數(shù)．

∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.

所以第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為T₃＝x²，T₆＝，T₉＝x^－2.

17．(本小題滿分10分)在一塊10壟并排的田地中，選2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的種植方法共有多少種？

解法一：(圖示法)如圖(1)，用并排一行的10個(gè)小矩形表示10壟田地，小矩形內(nèi)加“○”表示選中，具體畫(huà)出有6種選取方法．再對(duì)每種選取方式分別種植A、B兩種作物，有A種種植方法．

故共有6A＝12種種植方法．

(1)

(2)

解法二：(圖象法)設(shè)并排10壟田地依次編號(hào)為1,2,3，…，10，所選的壟田地為a、b，根據(jù)題設(shè)條件，得

問(wèn)題的解化為不等式組的整數(shù)解的個(gè)數(shù)．如圖(2)所示，滿足不等式組的解為坐標(biāo)平面aOb內(nèi)標(biāo)有“·”號(hào)的整點(diǎn)，數(shù)整點(diǎn)個(gè)數(shù)有12個(gè)，故符合題意的選壟方法有12種．

16.⁸的展開(kāi)式中x²的系數(shù)是70，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．

答案：±1

解析：T_k+1＝C(ax)^8－k(－)^k

＝Ca^8－kx8－k－(－1)^k，

令8－k－＝2，得k＝4，

∴Ca⁴(－1)⁴＝70，∴a⁴＝1，∴a＝±1.

15．(2008·陜西理)某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動(dòng)分別由6名火炬手完成，如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有________種．(用數(shù)字作答)

答案：96

解析：先安排最后一棒(A)，再安排第一棒(A)，最后安排中間四棒(A)，∴不同的傳遞方案有AAA＝96(種)．

14．已知(1+x)+(1+x)²+(1+x)³+…+(1+x)⁸＝a₀+a₁x+…+a₈x⁸，則a₁+a₂+a₃+…+a₈＝________.

答案：502

解析：令x＝1得a₀+a₁+a₂+…+a₈

＝2+2²+2³+…+2⁸＝

＝2⁹－2＝510.

令x＝0，得a₀＝8，∴a₁+a₂+…+a₈＝502.

13．在(x－)⁹的展開(kāi)式中，x³的系數(shù)為_(kāi)_______(用數(shù)字作答)．

答案：－

解析：T_k+1＝Cx^9－k(－)^k＝Cx^9－k(－)^kx^－k

＝Cx^9－2k(－)^k，

令9－2k＝3，得k＝3，

∴T₄＝Cx³·(－)³＝84×(－)x³＝－x³，

∴x³的系數(shù)為－.

12．圓周上有12個(gè)不同的點(diǎn)，過(guò)其中任意兩點(diǎn)作弦，這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多有(　)

A．A　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．A·A

C．C·C 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．C

答案：D

解析：圓周上任意四個(gè)點(diǎn)連線的交點(diǎn)都在圓內(nèi)，此四點(diǎn)的選法有C，則由這四點(diǎn)確定的圓內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，所以這12個(gè)點(diǎn)所確定的弦在圓內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多為C.故選D.

11．(2009·昆明市質(zhì)檢)某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有(　)

A．56種　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．68種

C．74種　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．92種

答案：D

解析：本題是計(jì)數(shù)問(wèn)題，根據(jù)特殊(或受限)元素進(jìn)行分類，如本題屬于“多面手”問(wèn)題，根據(jù)劃左舷中有多面手人數(shù)的多少進(jìn)行分類：劃左舷中沒(méi)有“多面手”的選派方法有C種，有一個(gè)“多面手”的選派方法有CCC種，有兩個(gè)“多面手”的選派方法有CC種，即共有20+60+12＝92(種)．故選D.