3.向量在空間中的應(yīng)用(在B類教材中).在空間坐標(biāo)系下，通過向量的坐標(biāo)的表示，運用計算的方法研究三維空間幾何圖形的性質(zhì).

在復(fù)習(xí)過程中，抓住源于課本，高于課本的指導(dǎo)方針.本章考題大多數(shù)是課本的變式題，即源于課本.因此，掌握雙基、精通課本是本章關(guān)鍵.

2.以解答題考查圓錐曲線中的典型問題.此類題綜合性比較強，難度大，以解析幾何中的常規(guī)題為主.

1.以選擇、填空題型考查本章的基本概念和性質(zhì).此類題一般難度不大，用以解決有關(guān)長度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問題.

29.解：(1)過D作DE⊥BC，垂足為E，在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°，BC=2，得BD=1，CD=，∴DE=CD·sin30°=.

OE=OB－BE=OB－BD·cos60°=1－.

∴D點坐標(biāo)為(0，－)，即向量OD[TX→]的坐標(biāo)為{0，－}.

(2)依題意：，

所以.

設(shè)向量和的夾角為θ，則

cosθ=

.

評述：本題考查空間向量坐標(biāo)的概念，空間向量數(shù)量積的運算及空間向量的夾角公式.解決好本題的關(guān)鍵是對空間向量坐標(biāo)的概念理解清楚，計算公式準確，同時還要具備很好的運算能力.

●命題趨向與應(yīng)試策略

對本章內(nèi)容的考查主要分以下三類：

28.(1)證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD.∴AB⊥平面PAD.又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，故BE⊥PD.

(2)解：以A為原點，AB、AD、AP所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點C、D的坐標(biāo)分別為(a，a，0)，(0，2a，0).

∵PA⊥平面ABCD，∠PDA是PD與底面ABCD所成的角，∴∠PDA=30°.

于是，在Rt△AED中，由AD=2a，得AE=a.過E作EF⊥AD，垂足為F，在Rt△AFE中，由AE=a，∠EAF=60°，得AF=，EF=a，∴E(0，a)

于是，={－a，a，0}

設(shè)與的夾角為θ，則由cosθ=

∴θ=arccos，即AE與CD所成角的大小為arccos.

評述：第(2)小題中，以向量為工具，利用空間向量坐標(biāo)及數(shù)量積，求兩異面直線所成的角是立體幾何中的常見問題和處理手段.

27.(1)證明：設(shè)=a，=b，=c，則|a|=|b|，∵=b－a，

∴·=(b－a)·c=b·c－a·c=|b|·|c|cos60°－|a|·|c|cos60°=0，

∴C₁C⊥BD.

(2)解：連AC、BD，設(shè)AC∩BD=O，連OC₁，則∠C₁OC為二面角α-BD-β的平面角.

∵(a+b)，(a+b)－c

∴·(a+b)·［(a+b)－c］

=(a²+2a·b+b²)－a·c－b·c

=(4+2·2·2cos60°+4)－·2·cos60°－·2·cos60°=.

則||=，||=，∴cosC₁OC=

(3)解：設(shè)=x，CD=2， 則CC₁=.

∵BD⊥平面AA₁C₁C，∴BD⊥A₁C

∴只須求滿足：=0即可.

設(shè)=a，=b，=c，

∵=a+b+c，=a－c，

∴=(a+b+c)(a－c)=a²+a·b－b·c－c²=－6，令6－=0，得x=1或x=－(舍去).

評述：本題蘊涵著轉(zhuǎn)化思想，即用向量這個工具來研究空間垂直關(guān)系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等問題.

26.解：如圖5-22，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

(1)依題意得B(0，1，0)、N(1，0，1)

∴| |=.

(2)依題意得A₁(1，0，2)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、B₁(0，1，2)

∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=

∴cos<，>=.

(3)證明：依題意，得C₁(0，0，2)、M(，2)，={－1，1，2}，

={，0}.

∴·=－+0=0，∴⊥，∴A₁B⊥C₁M.

評述：本題主要考查空間向量的概念及運算的基本知識.考查空間兩向量垂直的充要條件.

25.解：如圖5-21建立空間直角坐標(biāo)系

由題意，有A(0，2，0)、C(2，0，0)、E(1，1，0)

設(shè)D點的坐標(biāo)為(0，0，z)(z>0)

則={1，1，0}，={0，－2，z}，

設(shè)與所成角為θ.

則·=·cosθ=－2，且AD與BE所成的角的大小為arccos.∴cos²θ=，∴z=4，故|BD|的長度為4.

又V_A-BCD=|AB|×|BC|×|BD|=，因此，四面體ABCD的體積為.

評述：本題考查空間圖形的長度、角度、體積的概念和計算.以向量為工具，利用空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量的數(shù)量積計算線段的長度、異面直線所成角等問題，思路自然，解法靈活簡便.

24.(1)證明：∵=－2－2+4=0，∴AP⊥AB.

又∵=－4+4+0=0，∴AP⊥AD.

∵AB、AD是底面ABCD上的兩條相交直線，∴AP⊥底面ABCD.

(2)解：設(shè)與的夾角為θ，則

cosθ=

V=||·||·sinθ·||=

(3)解：|(×)·|=|－4－32－4－8|=48它是四棱錐P-ABCD體積的3倍.

猜測：|(×)·|在幾何上可表示以AB、AD、AP為棱的平行六面體的體積(或以AB、AD、AP為棱的直四棱柱的體積).

評述：本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量的數(shù)量積、空間向量垂直的充要條件、空間向量的夾角公式和直線與平面垂直的判定定理、棱錐的體積公式等.主要考查考生的運算能力，綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力及空間想象能力.

23.建立坐標(biāo)系，如圖5-20.

(1)證明：設(shè)AE=BF=x，則A′(a，0，a)，F(a－x，a，0)，C′(0，a，a)，E(a，x，0)

∴={－x，a，－a}，={a，x－a，－a}.

∵·=－xa+a(x－a)+a²=0

∴A′F⊥C′E

(2)解：設(shè)BF=x，則EB=a－x

三棱錐B′-BEF的體積

V=x(a－x)·a≤()²=a³

當(dāng)且僅當(dāng)x=時，等號成立.

因此，三棱錐B′-BEF的體積取得最大值時BE=BF=，過B作BD⊥EF于D，連

B′D，可知B′D⊥EF.∴∠B′DB是二面角B′-EF-B的平面角在直角三角形BEF中，直角邊BE=BF=，BD是斜邊上的高.∴BD=a.

∴tanB′DB=

故二面角B′-EF-B的大小為arctan2.

評述：本題考查空間向量的表示、運算及兩向量垂直的充要條件.二次函數(shù)求最值或均值不等式求最值，二面角等知識.考查學(xué)生的空間想象能力和運算能力.用空間向量的觀點處理立體幾何中的線面關(guān)系，把幾何問題代數(shù)化，降低了立體幾何的難度.本題考查的線線垂直等價于·=0，使問題很容易得到解決.而體積的最值除用均值不等式外亦可用二次函數(shù)求最值的方法處理.二面角的平面角的找法是典型的三垂線定理找平面角的方法，計算較簡單，有一定的思維量.