542.經(jīng)過平面外一點只有一個平面和已知平面平行.

已知：Aα，A∈β，β∥α

求證：β是唯一的.

證：設(shè)l過A點，且l⊥α，這樣的直線是唯一的.

又β∥α，則β⊥l，過點A與α平面的平面一定和l垂直.

∵過點A和直線l垂直的平面是唯一的.

∴過點A和α平行的平面是唯一的.

541.　 如圖，已知直線a∥平面α；求證：過a有且只有一個平面平行于α.

證明　 (1)存在性：設(shè)過a的平面與α交于a′，∵a∥α，∴a∥a′.在α上，設(shè)直線b′∩a′＝A′,在a上取點A，A與b′確定平面δ，在δ上過A作b∥b′.則a、b是相交直線(若重合，則顯然b′∥a′，矛盾).∴a,b確定平面β，則β∥α.

(2)唯一性：設(shè)過a還有一個平面π∥α，∵π與δ有公共點A，∴π與δ相交于過A的直線b″，又π∥a，δ∩b′，∴b″∥b′,∴b″∥b,而b″與b都過點A，故重合，故π與β重合.

540. 如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，求證：(1)平面AB₁D₁∥平面C₁BD；(2)對角線A₁C被平面AB₁D₁和平面C₁BD三等分.

解析：本題若根據(jù)“一個平面內(nèi)兩條相交的直線分別與另一平面內(nèi)兩條相交的直線平行，則兩平面平行”是很容易解決論證平面AB₁D₁∥平面C₁BD的，但兼顧考慮(2)的論證，(1)我們還是采用“兩平面垂直于同一直線則兩平面平行”的判定的方法.

證：(1)連AC，∵BD⊥AC，AC是A₁C在底面上的射影，由三條垂線定理得A₁C⊥BD，同理可證A₁C⊥BC₁.

∴A₁C⊥平面C₁BD，同理也能證得A₁C⊥平面AB₁D₁.

∴平面AB₁D₁∥平面C₁BD.

(2)設(shè)A₁到平面AB₁D₁的距離為h，正方體的棱長為a，則有：h·(a)²＝a· a².

∴h＝a.同理C到平面C₁BD的距離也為a，而A₁C＝a.故A₁C被兩平行平面三等分.

評析：論證A₁C被兩平行平面三等分，關(guān)鍵是求A₁到平面AB₁D₁的距離，C到平面C₁BD的距離，這里用三棱錐體積的代換，若不用體積代換，則可以在平面A₁ACC₁中去考慮：

連A₁C₁，設(shè)A₁C₁∩B₁D₁＝O₁，AC∩BD＝0，如圖連AO₁，C₁O，AC₁，設(shè)AC₁∩A₁C＝K.A₁C∩AO₁＝M，C₁O∩A₁C＝N.可證M為ΔA₁AC₁的重心，N為ΔACC₁的重心，則可推知MN＝NC＝A₁M.

另外值得說明的是：A₁C是面AB₁D₁和面BC₁D的公垂線.

異面直線AD₁和C₁D的距離也等于MN.

539.　 如圖，在三棱錐S-ABC中，A₁、B₁、C₁分別是ΔSBC、ΔSCA、ΔSAB的重心，(1)求證：平面A₁B₁C₁∥平面ABC；(2)求三棱錐S-A₁B₁C₁與S-ABC體積之比.

解析：本題顯然應(yīng)由三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合成比例線段的關(guān)系推導(dǎo)出“線線平行”再到“線面平行”到“面面平行”，至于體積的比的計算只要能求出相似三角形面積的比和對應(yīng)高的比就可以了.

證：(1)：∵　 A₁、B₁、C₁是ΔSBC、ΔSCA、ΔSAB的重心，連SA₁、SC₁并延長交BC、AB于N、M，則N、M必是BC和AB的中點.連MN

∵＝＝，

∴A₁C₁∥MN.

∵M(jìn)N平面ABC，

∴A₁C₁∥平面ABC.

同理可證　 A₁B₁∥平面ABC.

∴　 平面A₁B₁C₁∥平面ABC.

(2)由(1)＝，MN∥AC，

∴A₁C₁∥AC.

同理可證：A₁B₁∥AB，

B₁C₁∥BC.

∴　 ΔA₁B₁C₁≌ΔABC，

S＝S_ΔABC.

設(shè)三棱錐S-ABC的高為h，S-A₁B₁C₁的高為h₁則有：＝＝,∴h₁＝h.

∴＝＝.

評析：要掌握線面平行的相互轉(zhuǎn)化的思想方法外，還要有扎實的相似形和線段成比例的基礎(chǔ).

538.　 如圖，已知線段PQ、PD、QF分別和平行平面α、β交于A、B、C、D、E、F，若AP＝BQ，求證：S_ΔACF＝S_ΔBDE.

解析： 由已知得AC∥BD，EB∥AF，∠CAF＝∠EBD，又AC∶BD＝PA∶PB＝QB∶QA＝EB∶AF，∴AC·AF·sin∠CAF＝BE·BD·sin∠DBE.∴S_ΔACF＝S_ΔBDE.

537. 已知A，B∈平面α，C，D∈平面β，α∥β，AB＝13，BD＝15，AC、BD在平面α上的射影長之和是14，求AC、BD在平面α上的射影長，以及平面α、β的距離.

解　 如圖，設(shè)α、β的距離是h，則AC在α內(nèi)的射影長是，BD在α內(nèi)的射影長是.

根據(jù)題意，+＝14.

解這個方程，h＝12.

∴　 ＝5, ＝9.

故AC、BD在平面α上的射影長分別是5和9，平面α、β的距離是12.

點評　 平行平面間距離通常轉(zhuǎn)化為點面距離或線面距離最終轉(zhuǎn)化為點面距離.

536.　 已知直線a、b、c，平面α∩平面β＝a,bα，cβ，且b與c無公共點，則b與c不平行的充要條件是(　　 )

A.b、c都與α相交　　　　　　 　　　　 B.b、c中只有一條與α相交

C.b、c中至多一條與α相交　　 　　　　 D.b、c中至少有一條與α相交

解析：本題考查直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，充要條件，以及空間想象能力和等價轉(zhuǎn)化能力.

解法一：若直線b與c不平行，又由b與c無公共點，則b與c必定異面，根據(jù)異面直線的定義和線面位置關(guān)系可知或者b與c都與a相交，或者b、c中有一條與a相交，另一條與a平行，即b、c中至少有一條與α相交，即D成立；反之，當(dāng)D成立時，不難證明b與c必不平行，所以應(yīng)選D.

解法二：由題設(shè)及異面直線的定義可知，若b、c都與a相交能推出b與c異面，即b與c不平行；反過來，b與c不平行不一定推出b、c都與a相交，即A是充分非必要條件，而不是充要條件，同理，B也是充分非必要條件，而非充要條件，又由b、c中至多有一條與a相交，包含b、c中有一條與a相交和b、c都不與a相交兩種情形，而對于后者，即b∥a且c∥a，則b∥c.故c既非充分又非必要條件，綜上所述，排除A、B、C三個選擇項，從而選擇D.

535.　 有四個命題

(1)一條直線和另一條直線平行，它就和經(jīng)過另一條直線的任何平面平行

(2)一條直線和一個平面平行，它就和這個平面內(nèi)的任何直線平行

(3)平行于同一平面的兩條直線平行

(4)如果直線a∥平面α，a平面β，且α∩β＝b,則a∥b.

其中假命題共有(　　 )

A.1個　　　 　　 B.2個　　 　 　　C.3個　 　　 　　　D.4個

解析：此題考查線線位置關(guān)系和線面位置關(guān)系，以及空間想象能力.一條直線和另一條直線平行，它可能在經(jīng)過另一條直線的平面內(nèi)，故(1)是假命題.一條直線和另一個平面平行，它與這個平面的直線可能平行，也可能異面，故(2)也是假命題，又平行于同一平面的兩條直線，也可能平行，也可能異面或相交，故(3)也是假命題，而命題(4)是真命題，也是線面平行的性質(zhì)定理.故選C。

534.　 點A為異面直線a、b外一點，過A與a、b都平行的平面(　　 )

A.只有一個　　　　　　 B.只有兩個

C.至多有一個　　　　　 D.有無數(shù)個

解析：本題考查線線位置關(guān)系，線面位置關(guān)系，平面基本性質(zhì)，以及空間想象能力

解法一：過點A作a′∥a,b′∥b，根據(jù)公理3，a′與b′確定一個平面為α，則異面直線a與b至多有一條在α內(nèi)，當(dāng)a、b都不在α內(nèi)時，過A與a、b都平行的平面恰有一個，即α；當(dāng)a、b中有一條在α內(nèi)時，過A與a、b都平行的平面不存在，故選C.

解法二：過異面直線a、b分別作平面α、β使α∥β，若點A在α或β上，則過A與a、b都平行的平面不存在；若點A在α外且在β上，則過A恰有一個平面平行于α、β，則過點A與a、b都平行的平面恰有一個.

533. 已知：如圖，α∥β，異面直線AB、CD和平面α、β分別交于A、B、C、D四點，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，求證：(1)E、F、G、H共面；(2)面EFGH∥平面α.

證明 　(1)∵E、H分別是AB、DA的中點，∴EH∥BD.同理FG∥BD.∴FG∥EH.∴四邊形EFGH是平行四邊形，即E、F、H、G共面.

(2)平面ABD和平面α有一個公共點A，設(shè)兩平面交于過點A的直線AD′∴α∥β，∴　　 AD′∥BD.又∵BD∥EH，∴EH∥BD∥AD′.∴EH∥平面α，EH∥平面β，同理FG∥平面α，F(xiàn)G∥平面β.

∴平面EFHG∥平面α∥平面β.