8． (搬中)已知雙曲線的離心率e=, 過點(diǎn)A()和B(a,0)的直線與原點(diǎn)的距離為,直線y=kx+m與該雙曲線交于不同兩點(diǎn)C、D，且C、D兩點(diǎn)都在以A為圓心的同一圓上，求m 的取值范圍。

　　 錯(cuò)解　 由已知，有

　　 解之得：

　　 所以雙曲線方程為

　　 把直線 y=kx+m代入雙曲線方程，并整理得：

　　 所以(1)

　　 設(shè)CD中點(diǎn)為，

　　 則APCD，且易知：

　　 所以

　　 　(2)

　　 將(2)式代入(1)式得

　　 解得m>4或

　　 故所求m的范圍是

　　 剖析　 上述錯(cuò)解，在于在減元過程中，忽視了元素之間的制約關(guān)系，將代入(1) 式時(shí)，m受k的制約。

　　 因?yàn)?sub>

　　 所以

　　 故所求m的范圍應(yīng)為

　　 m>4或

7．(搬中)點(diǎn)P與定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到直線x=8的距離比是1：3,求動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)距離的最值。

　　 錯(cuò)解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到直線x=8的距離為d，則

　　 即

　　 兩邊平方、整理得

　　 =1　　 (1)

　　 由此式可得：

　　 因?yàn)?sub>

　　 所以

　　 剖析　 由上述解題過程知,動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在一橢圓上，由橢圓性質(zhì)知，橢圓上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都是有限制的，上述錯(cuò)解在于忽視了這一取值范圍，由以上解題過程知，的最值可由二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性給予解決

　　 即：當(dāng)時(shí)，

6．(搬中) 已知圓，圓都內(nèi)切于動(dòng)圓，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程。

　　 錯(cuò)解：圓O₂：

　　 即為

　　 所以圓O₂的圓心為,半徑,

　　 而圓的圓心為,半徑,

　　 設(shè)所求動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為(x,y),半徑為r

　　 則且

　　 所以

　　 即

　　 化簡得

　　 即為所求動(dòng)圓圓心的軌跡方程。

　　 剖析：上述解法將=3看成,誤認(rèn)為動(dòng)圓圓心的軌跡為雙曲線，這是雙曲線的概念不清所致。

　　 事實(shí)上，|表示動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)及的距離差為一常數(shù)3。

　　 且,點(diǎn)M的軌跡為雙曲線右支，方程為

5. (石莊中學(xué))在函數(shù)的圖象上有A、B兩動(dòng)點(diǎn)，滿足AB∥x軸，點(diǎn)M(1,m)(m為常數(shù)，m>3)是三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)，設(shè)A點(diǎn)橫坐標(biāo)t，△ABC的面積為f (t).

　　　 (1) 求f (t)的解析表達(dá)式；

　　　 (2) 若f (t)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，試求m的取值范圍；

　 　(3) 是否存在m使函數(shù)f (t)的最大值18？若存在，試求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

　　　 解：(1) f (t) = 2t (m-3t²)　　

　　　　　　　 　 (2) 　　 　∵上是增函數(shù).

　　　　　　　 　　 ∴　 　　即上恒成立.

　　　　　　　　　　 　　　 即m的取值范圍

　　　　　　　 　 (3) 令f’(t)=0，得(其中舍去)

　　　　　　　　　　 　即時(shí)，在處　 =12，

此時(shí)m的值不存在.

令　　 ，即m>9由(2)知f (t)在 為增函數(shù)，

，由2(m-3)=18得m=12

綜上只存在m=12適合題意。

4．(石莊中學(xué))設(shè)有半徑為3km的圓形村落，A、B兩人同時(shí)從村落中心出發(fā)，B向北直行，A先向東直行，出村后不久，改變前進(jìn)方向，沿著與村落周界相切的直線前進(jìn)，后來恰與B相遇，設(shè)A、B兩人速度一定，其速度比為3：1，問兩人在何處相遇？

解：設(shè)直線CD的方程為

∵圓心O到直線CD的距離3

∴　　　　 　　　　　　　 ①

∵V_A：V_B=3：1

在相同時(shí)間內(nèi)有

S_A：S_B=3：1

∴3b=a+b+　　　　　　　　　 ②

由①②解得

a=5

b=

∴CD直線方程為

∴A與B在距村心北方km處相遇

3. (石莊中學(xué)) 如圖，A村在B地正北cm處，C村在B地正東4km處，已知弧形公路PQ上任一點(diǎn)到B，C距離之和為8km，現(xiàn)要在公路旁建造一個(gè)交電房M分別向A村、C村送電，但C村有一村辦工廠用電需用專用線路，不得與民用混線用電，因此向C村要架兩條線路分別給村民和工廠送電，要使得所用電線最短，變電房M應(yīng)建在A村的什么方位，并求出M到A村的距離.

解：，∴M在以B，C為焦點(diǎn)，長軸長為8的橢圓上，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則B(-2，0)，C(2，0)， ，

　　 求得橢圓方程為，其離心率，右準(zhǔn)線為.

　　 作MN⊥l于N，則，由平面幾何知識(shí)知，當(dāng)直線MN通過A時(shí)，，此時(shí)M的縱坐標(biāo)為,

　　 ∴M的橫坐標(biāo)為.

　　 故得M在A正東且距A為()km處.

2. (如中)已知雙曲線兩焦點(diǎn)，其中為的焦點(diǎn)，兩點(diǎn)A (-3,2)　 B (1,2)都在雙曲線上，(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)的軌跡方程，并畫出軌跡的草圖；(3)若直線與的軌跡方程有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) t的取值范圍。

　 解答：(1)由得：

　　　　 故　

(2)設(shè)點(diǎn)

　　 則又雙曲線的定義得

　 又　 或

　　 　 點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓

　 除去點(diǎn)或　　 除去點(diǎn)　 圖略。

(3)聯(lián)列：消去得

　　 　整理得：

　 當(dāng)時(shí)　 得　 從圖可知：，

　 又因?yàn)檐壽E除去點(diǎn) 所以當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)也只有一個(gè)交點(diǎn)，即或5

易錯(cuò)原因：(1)非標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)計(jì)算易錯(cuò)；(2)求點(diǎn)的軌跡時(shí)易少一種情況；(3)對(duì)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)誤認(rèn)為方程只有一解。

1. (如中)已知正方形ABCD 對(duì)角線AC所在直線方程為 .拋物線過B，D兩點(diǎn)

(1)若正方形中心M為(2，2)時(shí)，求點(diǎn)N(b,c)的軌跡方程。

(2)求證方程的兩實(shí)根，滿足

解答：(1)設(shè)

　　　 因?yàn)?B,D在拋物線上 所以兩式相減得

　　 　　則代入(1)

　　 得　　

　　 故點(diǎn)的方程是一條射線。

　 (2)設(shè)

　　 同上

　　 (1)-(2)得

　　 (1)+(2)得

　　 (3)代入(4)消去得

　　 得　　 又即的兩根滿足 　

　 故。

易錯(cuò)原因：審題不清，忽略所求軌跡方程的范圍。

45．(案中)已知∥,O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)t變化時(shí)，則點(diǎn) P的軌跡方程為　　　　　

正確答案：拋物線y²=4x

錯(cuò)誤原因：本題是以向量形式給出的已知條件，故很多學(xué)生未能看出這些條件的幾何意義。

44．(案中)已知點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A(4，1)是橢圓內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)P(x,y)

(x≥0)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是　　　　　　

正確答案：5

錯(cuò)誤原因：找不到合適的解法，另有部分人未能注意到x≥0這一條件。