Question

線段AB上有1998個(gè)點(diǎn)（包括A，B兩點(diǎn)），將點(diǎn)A染成紅色，點(diǎn)B染成藍(lán)色，其余各點(diǎn)染成紅色或藍(lán)色．這時(shí)，圖中共有1997條互不重疊的線段．問(wèn)：兩個(gè)端點(diǎn)顏色相異的小線段的條數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？

Answer 1

分析：從最簡(jiǎn)單的情況考慮：如果中間的1996個(gè)點(diǎn)全部染成紅色，這時(shí)異色線段只有1條，是一個(gè)奇數(shù)，然后我們對(duì)這種染色方式進(jìn)行調(diào)整：將某些紅點(diǎn)改成藍(lán)點(diǎn)并注意到顏色調(diào)整時(shí)，異色線段的條數(shù)隨之有哪些變化，由于顏色的調(diào)整使任意的，因此與條件中染色的任意性就一致了．

解答：解：從最簡(jiǎn)單的情況考慮：如果中間的1996個(gè)點(diǎn)全部染成紅色，這時(shí)異色線段只有1條，是一個(gè)奇數(shù)；
將任意一個(gè)紅點(diǎn)染成藍(lán)點(diǎn)，這個(gè)改變顏色的點(diǎn)的左右兩側(cè)相鄰的兩個(gè)點(diǎn)若是同色，則異色小線段的條數(shù)或者增加2條（相鄰的兩個(gè)點(diǎn)同為紅色），或者減少2條（相鄰的兩點(diǎn)同為藍(lán)色）；這個(gè)改變顏色的點(diǎn)的左右兩側(cè)相鄰的兩個(gè)點(diǎn)若是異色，則異色小線段的條數(shù)不變；
綜上所述，改變?nèi)我恻c(diǎn)的顏色，異色線段的條數(shù)的改變總是一個(gè)偶數(shù)，從而異色線段的條數(shù)是一個(gè)奇數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題是操作推理問(wèn)題，關(guān)鍵是利用“假設(shè)法”確定改變一個(gè)的顏色分兩種情況討論異色小線段的條數(shù)的變化．