Question

一棟大樓共33層，電梯停在第1層，現(xiàn)在有32個人分別要去第2層、第3層…第33層，他們可以選擇坐電梯或者走樓梯．有一天電梯壞了，電梯只能在某一層停，每個人可以選擇走樓梯上樓或乘電梯到這一層再走樓梯．每個人上一層樓梯會有3份不滿意，下一層樓梯會有1份不滿意．請問：電梯停在哪一層，才能使得所有人不滿意的總份數(shù)最�。�

Answer 1

考點：最大與最小

專題：傳統(tǒng)應用題專題

分析：人群的活動有三種，直接上樓；從電梯下樓；從電梯上樓；根據(jù)它們的活動情況，可有多種組合，而組合數(shù)是有限的，故存在最小值．

解答： 解：將人群分成三組，A組：直接上樓；B組：從電梯下樓；C組：從電梯上樓；
由于各種組合是有限的，因此最小值是存在的，那么在達到最小值時，下樓的人數(shù)是一個確定的值m，
除了1人不需要上下樓，上樓的人數(shù)為31-m，
這31-m個人分在A，C兩組，由于A，C兩組的地位均等，因此要達到最小值人數(shù)要相等，但涉及到整數(shù)有可能相差1人，
設(shè)A組的人有n，那么爬得最高的人要爬n層，3n分，
如果C組的人比A組的人數(shù)多2個以上，則C組爬得最高的人＞=3（n+2），
這樣如果我們從C組中移1個人到A組，將至少減少3（n+2）分，
而A組增加1人增加的分是3（n+1），顯然會使總分減少，
同時B組的人數(shù)沒有變動，分值沒有變化，
由此說明了A，C組人數(shù)應當相等或相差1人，
基于以上分析，先考慮AC組人數(shù)相等的情況：
設(shè)A，C組人數(shù)均為x，B組人數(shù)為31-2x，
總分S=

x(x+1)×3+(32-2x)(31-2x)

2

=5x²-60x+496，
當x=

60

2×5

=6，S最小=316．

點評：此題考查了加法原理與乘法原理，側(cè)重于邏輯推理，根據(jù)人數(shù)的變化及上下樓情況推出分數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題是解題的關(guān)鍵．