Question

17．將自然數按照其個位數字可分為10類：個位數是1為第1類，個位數字是2的為第2類，…，個位數字是9的為第9類，個位數字是0的為第10類．
（1）任意取出6個互不同類的自然數，其中一定有兩個數的和是10的倍數嗎？
（2）任意取出7個互不同類的自然數，其中一定有兩個數的和是10的倍數嗎？
如果一定，請簡要說明理由；如果不一定，請舉出一個反例．

Answer 1

分析 （1）要證明其中必有兩個數，其和是10的倍數，只要把自然數分成六組（相當于6個抽屜）：0、5、1+9=10、2+8=10、3+7=10、4+6=10，然后根據運用抽屜原理進行分析解答即可；
（2）承接上題證明：任意取出6個互不同類的自然數，不能保證其中一定有兩個數的和是10的倍數，但是任意取出7個互不同類的自然數，可以保證其中一定有兩個數的和是10的倍數．

解答 解：（1）我們把自然數分成六組：
①個位數為：0；②個位數為：1+9=10；③個位數為：2+8=10；④個位數為：3+7=10；⑤個位數為：4+6=10；⑥個位數為：5；
從最不利的情況考慮，取出六個數，每組都有一個，沒有任何兩個數的和是10的倍數，
所以，任意取出6個互不同類的自然數，不能保證其中一定有兩個數的和是10的倍數．
答：任意取出6個互不同類的自然數，不能保證其中一定有兩個數的和是10的倍數．

（2）承接上題證明：
任意取出6個互不同類的自然數，不能保證其中一定有兩個數的和是10的倍數．
如果，再取一個數，一定有一組的數與其相加和是10，即是10的倍數；
所以，至少任意取出7個互不同類的自然數，其中一定有兩個數的和是10的倍數；
答：任意取出7個互不同類的自然數，其中一定有兩個數的和是10的倍數．

點評 此題屬于典型的抽屜原理習題，解答此類題的關鍵是找出把誰看作“抽屜個數”（分為六組），把誰看作“物體個數”，然后根據抽屜原理解答．