Question

有四個(gè)不同的自然數(shù)，它們的和是1991．如果要求這四個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)盡可能的大，這四個(gè)數(shù)中最大的那個(gè)數(shù)是

905

．

Answer 1

分析：將1991進(jìn)行分解，1991=11×181
1、先得出這四個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是181．為什么呢？假如還有更大的公約數(shù)k，那么必有 1991=ak+bk+ck+dk=（a+b+c+d）k  （k＞181，a，b，c，d為正整數(shù)且都不等），由于1991=11×181，k＞181，可以得到a+b+c+d＜11，但在小于11的正整數(shù)中，除了1以外，沒(méi)有數(shù)能整除1991．所以這四個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是181．
2、把11分解成4個(gè)不相等的正整數(shù)的和，要使其中一個(gè)達(dá)到最大，則其它三個(gè)要盡可能的�。�必須這樣分：
11=1+2+3+5  則1991=181+2×181+3×181+5×181
其中最大數(shù)就是5×181=905，由此可以解決．

解答：解：1991=11×181
     11=1+2+3+5
則1991=（1+2+3+5）×181=181+2×181+3×181+5×181
所以這四個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是5×181=905
故答案為905

點(diǎn)評(píng)：此題考查了求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法在實(shí)際問(wèn)題中的靈活應(yīng)用，分析問(wèn)題時(shí)要從多個(gè)方面考慮以便得出正確的解題思路．