Question

如圖，在面積為128平方厘米的正方形ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們分別從點(diǎn)A、點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，沿對(duì)角線都以每秒l厘米的速度相向運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)的過程中，過E作線段EH垂直AC交AD于H；過F作線段FG垂直AC交CD于G，連接HG、BE．
請(qǐng)問，動(dòng)點(diǎn)E、F分別從A、C兩點(diǎn)出發(fā)多少秒后，四邊形EFGH的面積與△ABE的面積相等？

Answer 1

考點(diǎn)：組合圖形的面積

專題：平面圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可知△AEH≌△CFG，由平行線的判定定理可知HE∥GF，即可求出結(jié)論．
根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)可求出AC的長(zhǎng)，過B作BO⊥AC于O，OB即為△ABE的高，設(shè)AE=x，YO用含x的關(guān)系式表示出S₁、S₂即可求出x的值．

解答： 解：根據(jù)正方形的性質(zhì)可知∠HAE=∠GCF，由于A、C運(yùn)動(dòng)的速度相同
故AE=CF，易證△AEH≌△CFG，由平行線的判定定理可知HE∥GF
所以，以E，F(xiàn)，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形
因?yàn)檎�方形邊長(zhǎng)為8

2

所以AC=16
因?yàn)锳E=x，過B作BO⊥AC于O，則BO=8
所以S₂=4x
因?yàn)镠E=x，EF=16-2x
所以S₁=x（16-2x）
當(dāng)S₁=S₂時(shí)，x（16-2x）=4x
解得x₁=0（舍去），x₂=6
所以當(dāng)x=6時(shí)，S₁=S₂
答：E、F兩點(diǎn)從A、C兩點(diǎn)出發(fā)6秒后，四邊形EFGH的面積與△ABE的面積相等．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了正方形的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，把求面積的最值轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題，鍛煉了同學(xué)們對(duì)所學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力．