Question

有一串分數(shù)，

1

1

，

1

2

，

2

2

，

1

2

，

1

3

，

2

3

，

3

3

，

2

3

，

1

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

4

4

…請問

7

10

是第幾個分數(shù)？第400個分數(shù)是幾分之幾？

Answer 1

考點：數(shù)字串問題

專題：探索數(shù)的規(guī)律

分析：（1）分母是1的分數(shù)有1個，分子是1；
分母是2的分數(shù)有3個，分子是1，2，1；
分母是3的分數(shù)有5個，分子是1，2，3，2，1；
分母是4的分數(shù)有7個；分子是1，2，3，4，3，2，1．
分數(shù)的個數(shù)分別是1，3，5，7…，當(dāng)分母是n時有2n-1個分數(shù)；由此求出從分母是1的分數(shù)到分母是10的分數(shù)一共有多少個；
分子是自然數(shù)，先從1增加，到分母相同時再減少到1；因此

7

10

在這個數(shù)列中應(yīng)該有2個，求出第一個

7

10

是第幾個即可；
（2）分母是1的分數(shù)有1個，分子是1；
分母是2的分數(shù)有3個，分子是1，2，1；
分母是3的分數(shù)有4個，分子是1，2，3，1；
分母是4的分數(shù)有5個；分子是1，2，3，4，1；
…
分母是n的分數(shù)有n+1個（n＞1），由此規(guī)律進一步探究答案即可．

解答： 解：（1）分母是7的分數(shù)一共有；
2×7-1=13（個）；
從分母是1的分數(shù)到分母是10的分數(shù)一共：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
=（1+19）×10÷2
=200÷2
=100（個）；
那么從第100個分數(shù)開始依次是：

1

10

，

2

10

，

3

10

，

4

10

，

5

10

，

6

10

，

7

10

；所以第一個

7

10

是第107個分數(shù)．
答：第一次出現(xiàn)的

7

10

是第107個分數(shù)．

（2）分母是3的分數(shù)有4個，分子是1，2，3，1；
分母是4的分數(shù)有5個；分子是1，2，3，4，1；
…
分母是n的分數(shù)有n+1個（n＞1）．
共有1+3+4+5+…+（n+1）=（n+1）×（n+2）÷2-2，
因為（26+1）×（26+2）÷2-2=376，
（27+1）×（27+2）-2=404，
第404個分數(shù)是

1

27

，向前推為第403個分數(shù)是

27

27

，第402個分數(shù)是

26

27

，第401個分數(shù)是

25

27

，第400個分數(shù)是

24

27

．
所以這串?dāng)?shù)的第400個數(shù)是

24

27

．

點評：本題需要找出分數(shù)個數(shù)與分母之間的規(guī)律，還要找出分子的變化規(guī)律．