Question

【題目】如圖，有4個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q、E、F分別從正方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)．沿著AB、BC、CD、DA以同樣的速度向B、C、D、A各點(diǎn)移動(dòng)．

【1】四邊形PQEF的形狀是_____；

【2】PE是否總是經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)，如果經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)，請(qǐng)通過(guò)作圖標(biāo)出來(lái)如果不經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由；

【3】四邊形PQEF的頂點(diǎn)位于何處時(shí)，其面積最小、最大？各是多少？

Answer 1

【答案】

【1】 正方形

【2】

對(duì)角線PE總過(guò)AC的中點(diǎn)

【3】 正方形ABCD與正方形PQEF的對(duì)角線交點(diǎn)是重合的，

當(dāng)OP⊥AB時(shí)，四邊形PQEF面積最小，為原正方形面積的一半，此時(shí)S正方形PFEQ=S正方形ABCD．

當(dāng)P與頂點(diǎn)B重合時(shí)，面積最大，S正方形PQEF=S正方形ABCD．

【解析】

1.因?yàn)樗俣认嗤�，所以四邊形PQEF外面的四個(gè)三角形是相同的，從而四邊形PQEF的四條邊相等，同時(shí)也可以求得這個(gè)四邊形的四個(gè)角都是直角，所以這個(gè)四邊形是正方形．

2.大正方形對(duì)角線相交于中心點(diǎn)，小正方形的對(duì)角線也相交于中心點(diǎn)，這兩個(gè)中心點(diǎn)重合．

3.小正方形與大正方形重合的時(shí)候面積最大，PE與AB垂直的時(shí)候面積最小．

【1】正方形；

【2】連接AC交PE于O，

∵AP平行且等于EC，

∴四邊形APCE為平行四邊形．

∵O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，

∴對(duì)角線PE總過(guò)AC的中點(diǎn)．

【3】正方形ABCD與正方形PQEF的對(duì)角線交點(diǎn)是重合的，

當(dāng)OP⊥AB時(shí)，四邊形PQEF面積最小，為原正方形面積的一半，此時(shí)S正方形PFEQ=S正方形ABCD．

當(dāng)P與頂點(diǎn)B重合時(shí)，面積最大，S正方形PQEF=S正方形ABCD．

故答案為：正方形．

本題考查了四邊形的綜合題，在證明過(guò)程中，應(yīng)用了正方形的性質(zhì)和平行四邊形的判定定理，為使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，在證明過(guò)程中，可適當(dāng)加入輔助線，此題難度一般．