Question

【題目】把若干個自然數(shù)l，2，3，…乘到一起，如果已知這個乘積的最末十三位恰好都是零，那么最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小應(yīng)該是多少?

Answer 1

【答案】55

【解析】

要求乘積的末十三位均是0，那么這個乘積至少含有13個質(zhì)因數(shù)2，13個質(zhì)因數(shù)5．

連續(xù)的自然數(shù)中2的倍數(shù)的個數(shù)遠(yuǎn)大于5的倍數(shù)的個數(shù)．所以只用考慮質(zhì)因數(shù)5的個數(shù)，有：13×5＝65，而1～65中，25、50均含有2個質(zhì)因數(shù)5．

所以只需連乘到(13－2)×5＝55即可．也就是說1×2×3×…的積的末十三位均是0，那么最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小應(yīng)是55．

解法二：我們分段考慮質(zhì)因數(shù)5的出現(xiàn)的情況：

在1至9中，有5本身，出現(xiàn)1次因數(shù)5；

在10至19中，有10、15，出現(xiàn)2次因數(shù)5；

在20至29中，有20、25，由于25=5×5，5出現(xiàn)了2次，所以共出現(xiàn)3次因數(shù)5；

在30至39、40至49中，各出現(xiàn)2次5的因子，至此共出現(xiàn)了1+2+3+2+2=10次5的因子．

在50至59中，有50、55、50=2×5×5出現(xiàn)了兩次5的次因子，所以這里共有3個5的因子．

所以到55為止，共出現(xiàn)13次5的因子，55為出現(xiàn)的最小自然數(shù)，使得2乘到它的結(jié)果中末尾有13個0．