Question

把一些棱長為1的正方體粘成一個棱長為n（n為正整數(shù)）的實心正方體，將大正方體的一個或幾個面染成紅色，然后再將大正方體拆散，發(fā)現(xiàn)有281個小正方體被染色了，那么n=

9

．

Answer 1

分析：三面涂色的只有8個頂點，兩面涂色的是12條棱上除去頂點的部分，一面涂色的是比棱長少2的正方形，據(jù)此計算即可解答．

解答：解：我們把大正方體分為上、下，前、后，左、右六個面．
1．如果只染一個面，只染大正方體的上面，那么，被染色的小正方體的塊數(shù)應(yīng)為n²個，因為281是質(zhì)數(shù)，不是一個完全平方數(shù)，所以不可能是染一個面．
2．如果將大正方體的兩個面染成紅色有兩種情況．
  ①染上下兩個面（兩個面相對），如圖1，這時被染色的小正方體的塊數(shù)應(yīng)為2n²個，這也是不可能的．
②染上面和前面兩個面（兩個面相鄰），如圖2，這時這時被染色的小正方體的塊數(shù)應(yīng)為：2 n²-n=n×（2n-1），因為281是質(zhì)數(shù)，所以n×（2n-1）不可能等于281．

3．如果將大正方體的三個面染成紅色，有如下兩種情況
①染上面、前面和右面，如圖3，這時被染色的小正方體的塊數(shù)應(yīng)為n³-（n-1）³，n³-（n-1）³應(yīng)是被3除余1的數(shù)，這是因為：

n被3除的余數(shù)	0	1	2
n 3被3除的余數(shù)	0	1	2
（n-1）被3除的余數(shù)	2	0	1
（n-1）3被3除的余數(shù)	2	0	1
n3-（n-1）3被3除的余數(shù)	1	1	1

因為281 被3除余2，所以n ³-（n-1）³不可能等于281．（或被染色的小正方體的塊數(shù)，還可以表示為3n²-3n+1=281，那么3n ²-3n=280，因為280不是3的倍數(shù)，所以也不合題意）．
②染上面、前面和下面，如圖4，這時被染色的小正方體的塊數(shù)應(yīng)為：
3n²-2n=n×（3n-2），因為281是質(zhì)數(shù)，所以n×（3n-2）不可能等于281．
4．如果將大正方體的四個面染成紅色，有如下兩種情況
①上、下兩個面不染色，如圖5，把被染上紅色的小正方體切分成弦圖那樣，這時，被染上紅色的小正方體塊數(shù)應(yīng)為4的倍數(shù)，而281不是4的倍數(shù)，不合題意．
②上面和前面不染色，如圖6，這時被染色的小正方體的塊數(shù)為：
2n²+n×（n-2）+（n-2）×（n-1）=4n²-5n+2
4n²-5n+2=281
4n²-5n=279
n×（4n-5）=279
因為279=1×179=3×91=9×31，經(jīng)試驗只有當n=9時，才符合要求．
5．如果將大正方體的五個面染上紅色，如上面不染色，這時被染色的小正方體的塊數(shù)為：2n²+2n（n-2）+（n-2）×（n-2）=5n²-8n+4
如果5 n²-8n+4=281，那么5 n²-8n=277，n×（5n-8）=277，由于277是質(zhì)數(shù)，所以n沒有符合題意的解．
 6．如果將大正方體的六個面都染上紅色，這時被染色的小正方體的塊數(shù)為：
n³-（n-2）³
由于n與n-2是同奇偶的，所以n³與（n-2）³也應(yīng)是同奇偶的，同奇偶的兩個
數(shù)的差應(yīng)為偶數(shù)，而281是奇數(shù)，所以n³-（n-2）³不可以等于281，不符合題意．
綜上所述，只有當n=9；有兩個相鄰的面不染色時，才符合題目要求．所以n=9．
故答案為：9．

點評：根據(jù)立體圖形的知識可知：三個面均為紅色的是各頂點處的小正方體，在各棱處，除去頂點處的正方體的有兩面紅色，在每個面上，除去棱上的正方體都是一面紅色，所有的小正方體的個數(shù)減去有紅色的小正方體的個數(shù)即是沒有涂色的小正方體．