Question

14．如圖，在圓周上有一些點，順次用線段連接每隔開一個點的所有兩點，結果通過圓周上所有的點，并且最后回到了原來的出發(fā)點．這樣得到的圖形的各個尖出的角（圖中的部分）的和是2700°．請問：圓周上有多少個點？

Answer 1

分析 如圖，假設有n個頂點，這n個頂點都是均勻分布，在內部就構成一個正n邊形，由n內個角，∠1就是其中1個，根據正n邊形每個角的度數是$\frac{（n-2）×180°}{n}$，所以∠1=180°-$\frac{360°}{n}$，每個小三角形都是等腰三角形，根據∠1與∠2、∠3的關系，求出用含有字母n表示的∠3的度數，有已知條件n∠3=2700°，解方程即可求得未知數m，即頂點的個數．

解答 解：如圖，

假設有n個點，為方便計算，假設它們均勻分布
則內部構成一個正n邊形
因為∠1=180°-$\frac{360°}{n}$
所以∠2=$\frac{360°}{n}$
所以∠3=180°-2∠2=180°-$\frac{720°}{n}$
所以n∠3=n180°-720°

由題意可知n∠3=2700° 
        即n180°-720°=2700°
n180°-720°+720°=2700°+720°
                            n180°=3420°
                  n180°÷180°=3420°÷180°
                                   n=19
答：圓周上有19個點．

點評 此題屬于奧數類題型，對一般學生來說，難度較大．關鍵弄清分別連結1、3、5，2、4、6…通過連結，這些點的個數在內部形成一個與點的個數相同的多邊形，再根據多邊形每個內角的度數及已知條件解答．