Question

一個(gè)圓柱體木材，如果削成最大的長(zhǎng)方體，所得長(zhǎng)方體比原來(lái)減少了57cm³，再把這個(gè)相對(duì)的面是正方形的長(zhǎng)方體木料，削去多少cm³又成為最大的圓柱體？

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的立方體切拼問(wèn)題

專(zhuān)題：立體圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算

分析：設(shè)最外圓半徑為R，大圓面積：π×R×R，大圓內(nèi)最大正方形面積：4×（

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2

×R×R），
（把正方形看作由四個(gè)小三角形構(gòu)成，直角邊都是半徑R），
大圓：正方形=（π×R×R）：（4×（

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2

）×R×R）=π：2=2π：4 ①
再看正方形內(nèi)最大圓情況：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2r，則其面積為：2r×2r，正方形內(nèi)最大圓面積：π×r×r
正方形：小圓=（2r×2r）：（π×r×r）=4：π ②
由①、②，可知三者關(guān)系：大圓：正方形：小圓=2π：4：π
上面原理應(yīng)用：
大圓：正方形：小圓：（大圓-正方形）：（正方形-小圓）=2π：4：π：（2π-4）：（4-π） ③，由此可得削去的部分為：57÷（2π-4）×（4-π），解答即可．

解答： 解：
先看圓內(nèi)最大的正方形（ABCD）情況：
設(shè)最外圓半徑為R，大圓面積：π×R×R，
大圓內(nèi)最大正方形面積：4×（

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×R×R），
（把正方形看作由四個(gè)小三角形構(gòu)成，直角邊都是半徑R），
大圓：正方形=（π×R×R）：（4×（

1

2

）×R×R）=π：2=2π：4 ①
再看正方形內(nèi)最大圓情況：
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2r，則其面積為：2r×2r
正方形內(nèi)最大圓面積：π×r×r
正方形：小圓=（2r×2r）：（π×r×r）=4：π ②
由①、②，可知三者關(guān)系：
大圓：正方形：小圓=2π：4：π
上面原理應(yīng)用：
大圓：正方形：小圓：（大圓-正方形）：（正方形-小圓）=2π：4：π：（2π-4）：（4-π） ③
回到題中，第一次由圓變正方形減小部分，就是③式中的（大圓-正方形）
第二次由正方形變圓減少部分，就是③式中的（正方形-小圓）
于是減少的面積應(yīng)為：（算出每份，再乘以變化份數(shù)，就是減少面積）
57÷（2π-4）×（4-π）
=57÷2.28×0.86
=25×0.86
=21.5（立方厘米）
答：削去21.5cm³又成為最大的圓柱體．

點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵是通過(guò)推理得出大圓：正方形：小圓：（大圓-正方形）：（正方形-小圓）=2π：4：π：（2π-4）：（4-π），是解答此題的關(guān)鍵．