【題目】如圖,已知長方體 , ,直線與平面所成角為, 垂直于點, 的中點.

1)求直線與平面所成角的正弦值;

2)線段上是否存在點,使得二面角的余弦值為?若存在,確定點位置;若不存在,說明理由.

【答案】1;2)存在點,為的中點.

【解析】試題分析:(1先利用直線與平面所成角為,求得,為正交基底建立平面直角坐標(biāo)系,求出直線的方向向量,利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的一個法向量,利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果;(2,則求出面的一個法向量,利用(1)中平面的一個法向量,根據(jù)空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析, 與面所成角為 ,,

1)以為正交基底建立平面直角坐標(biāo)系,則

,設(shè)面的一個法向量為

答: 與面所成角的正弦值為

2)令,則

設(shè)面的一個法向量為,

化簡得

答:存在點,為的中點.

【方法點晴】本題主要考查利用空間向量求線面角與二面角,屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

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1

2

3

4

5

6

7

直線:________

射線:________________、________

線段:________、________

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A. 1B. 2C. 3D. 4

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