1997個(gè)數(shù)排成一行,除兩頭的兩個(gè)數(shù)之外,其余每數(shù)的3倍恰好等于與它相鄰前后兩數(shù)之和,這一行數(shù)最左邊的幾個(gè)數(shù)是:0,1,3,8,…,問最右邊那個(gè)數(shù)除以6余幾?
分析:設(shè)相鄰的三個(gè)數(shù)為an-1,an,an+1.根據(jù)題設(shè)有3an=an-1+an+1,所以an+1=3an-an-1
設(shè)an=6q1+r1,an-1=6q2+r2.則
an+1=3×(6q1+r1)-6q2+42
=6(3q1-q2)+(3r1-r2);
由此可知,an+1除以6的余數(shù)等于(3r1-r2)除以6的余數(shù).所以這一行數(shù)中被6除的余數(shù)分別為:
0,1,3,2,3,1,0,5,3,4,3,5,0,
可以發(fā)現(xiàn),12個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán),所以
1997÷12=166…5,
由此可知第1997個(gè)數(shù)除以6余3.
解答:解:設(shè)相鄰的三個(gè)數(shù)為an-1,an,an+1.根據(jù)題設(shè)有3an=an-1+an+1,所以an+1=3an-an-1
設(shè)an=6q1+r1,an-1=6q2+r2.則
an+1=3×(6q1+r1)-6q2+42
=6(3q1-q2)+(3r1-r2
由此可知,an+1除以6的余數(shù)等于(3r1-r2)除以6的余數(shù).
這一行數(shù)是:0,1,3,8,21,55,144,377,987,2584,6765,17711,46368,121393,317811,832040,2178309,5702887,14930352,39088169,102334155,267914296,701408733,1836311903…
所以這一行數(shù)中被6除的余數(shù)分別為:
0,1,3,2,3,1,0,5,3,4,3,5,0,
可以發(fā)現(xiàn),12個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán),所以
1997÷12=166…5,
由此可知第1997個(gè)數(shù)除以6余3.
點(diǎn)評(píng):此題考查了學(xué)生帶余除法的運(yùn)算、排列組合的有關(guān)知識(shí),以及分析判斷的能力.
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