Question

求1～2013的自然數(shù)中最多可以取出多少個(gè)數(shù)，使得任意兩數(shù)之和不能被兩數(shù)之差整除？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)的整除特征

專(zhuān)題：整除性問(wèn)題

分析：根據(jù)題意，分析可得，若取出的數(shù)最多，則需要從1開(kāi)始取，進(jìn)而分析此時(shí)所取數(shù)組中相鄰兩數(shù)的間隔，即可得取出數(shù)字最多的這個(gè)數(shù)組，結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)，計(jì)算其數(shù)字?jǐn)?shù)目即可得答案．

解答： 解：根據(jù)題意，若取出的數(shù)最多，則需要從1開(kāi)始取，同時(shí)取出的數(shù)中相鄰兩數(shù)間隔相等且應(yīng)盡量的��；
則取出的數(shù)中相鄰兩數(shù)不能間隔為1，此時(shí)相鄰兩數(shù)的差為1，不合題意，
取出的數(shù)中相鄰兩數(shù)間隔也不能為2，此時(shí)取出的數(shù)都為奇數(shù)或偶數(shù)，易得任意相鄰兩數(shù)的和為偶數(shù)，其差為2，即相鄰兩數(shù)之和可以被其差整除，不合題意，
當(dāng)取出的數(shù)中相鄰兩數(shù)間隔為3時(shí)，設(shè)任意的兩數(shù)為3a+1、3b+1，其和為3（a+b）+2，其差為3（a-b），易得兩數(shù)之和不能被其差整除，符合題意，
即要使取出的數(shù)最多，則取出的這組數(shù)為1、4、7、10、…2011，共671；
故最多能取671個(gè)數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查合情推理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是分析出所取的數(shù)字最多的1組的特征．