Question

有一類三位數(shù)，它們除以2、3、4、5、6所得到的余數(shù)互不相同（可以含0）．這樣的三位數(shù)中最小的三個是多少？

Answer 1

考點：最大與最小

專題：余數(shù)問題

分析：根據(jù)題意，可使此數(shù)除以2，3，4，5，6所得到的余數(shù)順序為：①為0、1、2、3、4；②為1、2、3、4、5．
2、3、4、5、6的最小公倍數(shù)60，因此60×2-2=118符合①且最�。�60×2-1=119符合②且最�。�
比①②稍大，且滿足余數(shù)不同的還可能有，然后進行分析即可．

解答： 解：可使此數(shù)除以2，3，4，5，6所得到的余數(shù)順序為：
①為0、1、2、3、4
②為1、2、3、4、5
2、3、4、5、6的最小公倍數(shù)60，因此60×2-2=118符合①且最小．60×2-1=119符合②且最�。�
比①②稍大，且滿足余數(shù)不同的還可能有，分析如下：
A、被6除余0、1、2、3、4、5，則被3除余0、1、2、0、1、2．余數(shù)不發(fā)生重復的有：
被6除余3、4、5，被3除余0、1、2，
B、被4除余0、1、2、3，則被2除余0、1、0、1．余數(shù)不發(fā)生重復的有
被4除余2、3，被2除余0、1，
因此這兩組不重復的組合有：
6除余4、3除余1，4除余2，2除余0，則須被5除余3，同上述①，
6除余5、3除余2，4除余3，2除余1，則5除余4同上述②，或5除余0，
則求③6除余5、5除余0、4除余3，3除余2，2除余1的數(shù)，即
6除余5、5除余0、4除余3的數(shù)：
6K+5=（5K+5）+K，K最小為0，6K+5最小為5
30K+5=（28K+3）+2（K+1），K最小為3，30K+5最小為30*3+5=95
求得形式為60K+95的數(shù)符合“6除余5、5除余0、4除余3，3除余2，2除余1”
這樣的三位數(shù)最小是60+95=155
綜上，除以2，3，4，5，6所得到的余數(shù)互不相同的最小的三位數(shù)是：118、119、155．

點評：此題也可這樣理解：因為6=2×3 比較特殊．
被6除余0時，被2、3除余0 （必有重復）
被6除余1時，被2、3除余1（必有重復）
被6除余2時，被2除余0、被3除余2（必有重復）
被6除余3時，被2除余1、被3除余0、被4除不是余1就是余3（必有重復）
被6除余4時，被2除余0、被3除余1
被6除余5時，被2除余1、被3除余2
顯然，要使余數(shù)不重復，所求的數(shù)被6除只可能余4、5．
①當被6除余4時不可能再出現(xiàn)余數(shù)5了．余數(shù)只能是0、1、2、3、4這5個．
并且被6除余4，則被2除必余0、被3除必余1，被4除余0或2（0重復）只能余2．剩下被5除只能余3．
也就是說余數(shù)中不出現(xiàn)5時，
被2、3、4、5、6除的余數(shù)及順序只能分別是：0、1、2、3、4．
求得此時最小的三位數(shù)118．
②當被6除余5時，11、17
被2除必余1、被3除必余2、被5除必余0，被4除余1或3（1重復）必余3．
顯然此時被5除只能余0或4了．
也就是說余數(shù)中出現(xiàn)5時，
被2、3、4、5、6除的余數(shù)及順序只能分別是：
A 1、2、3、0、5
或B 1、2、3、4、5
分別求得此情況下的最小三位數(shù)，分別是：A155、B119．
綜上，已求得最小的三個符合題意的數(shù)，即118、119、155．