Question

【題目】已知定直線，定點，以坐標軸為對稱軸的橢圓過點且與相切.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）橢圓的弦的中點分別為，若平行于，則斜率之和是否為定值？ 若是定值，請求出該定值；若不是定值請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）斜率之和為定值

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標準方程為，由題意構(gòu)建關(guān)于的方程組，即可得橢圓方程．

（Ⅱ）設(shè)點P（x1，y1），Q（x2，y2），可知PQ∥MN，所以kPQ=kMN=1，

設(shè)直線PQ的方程為y=x+t，代入橢圓方程并化簡得：3x2+4tx+2t2﹣6=0，利用韋達定理可計算

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)橢圓的標準方程為

橢圓過點，所以①，

將代入橢圓方程化簡得： ，

因為直線與橢圓相切，所以②，

解①②可得， ，所以橢圓方程為；

（Ⅱ）設(shè)點，則有，

由題意可知，所以，設(shè)直線的方程為，

代入橢圓方程并化簡得：

由題意可知③

，

通分后可變形得到

將③式代入分子

，

所以斜率之和為定值.