Question

【題目】如下圖，下面一系列圖形中第一個(gè)最小的等腰直角三角形的面積都是1，后一個(gè)等腰直角三角形的斜邊恰好是前一個(gè)等腰直角三角形的直角邊的2倍，請計(jì)算每個(gè)圖形的面積，并填在相應(yīng)的空中。

Answer 1

【答案】1 3 7 15 31 2n－1

【解析】本題考查的是數(shù)形結(jié)合的規(guī)律。認(rèn)真觀察、比較、歸納每組圖形與第一個(gè)圖形的關(guān)系是本題的關(guān)鍵。

根據(jù)題意，已知第一個(gè)圖形的面積是1，要求每個(gè)圖形的面積，我們不妨找出每個(gè)圖形與第一個(gè)圖形的關(guān)系，通過分割將每個(gè)圖形分割成若干個(gè)第一個(gè)圖形，如下圖所示。

由圖示可知，第一個(gè)圖形的面積是1；

第二個(gè)圖形中有3個(gè)第一個(gè)圖形，即面積是3；

第三個(gè)圖形中有7個(gè)第一個(gè)圖形，即面積是7；

第四個(gè)圖形中有15個(gè)第一個(gè)圖形，即面積是15；

觀察歸納數(shù)列1、3、7、15、……的規(guī)律，可得1＝21－1；3＝22－1；7＝23－1；15＝24－1，所以下一個(gè)數(shù)是25－1＝31，第n個(gè)數(shù)是2n－1，故第5個(gè)圖形的面積是31，第n個(gè)圖形的面積是2n－1。