Question

一列數(shù)：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…，其中自然數(shù)n出現(xiàn)n次．那么，這列數(shù)中的第1999個數(shù)除以5的余數(shù)是

3

．

Answer 1

分析：自然數(shù)n出現(xiàn)了n次，這n個n中的第一個數(shù)位于這列數(shù)的

1

2

n（n+1）-n+1=

1

2

n（n-1）+1，最后一個數(shù)n位于這列數(shù)中的第（1+2+…+n）=

1

2

n（n+1）個數(shù)．如：2，位于這列數(shù)的第2位和第三位；3，位于第四位和第六位之間；以此類推，可得出是哪個數(shù)是這列數(shù)中的第1999個數(shù)，

1

2

n（n-1）+1≤1999≤

1

2

n（n+1），又

1

2

×62×63=1953＜1999＜2016=

1

2

×63×64．因此，這列數(shù)中的第1999個數(shù)是63，它除以5的余數(shù)是3．

解答：解：自然數(shù)n出現(xiàn)了n次，這n個n中的最后一個數(shù)n位于這列數(shù)中的第（1+2++n=

1

2

n（n+1）個數(shù)．
又

1

2

×62×63=1953＜1999＜2016=

1

2

×63×64．
因此，這列數(shù)中的第1999個數(shù)是63，它除以5的余數(shù)是3．
故答案為：3．

點(diǎn)評：此題考查了數(shù)列中的規(guī)律，猜測法猜出這個數(shù)是解決問題的一個方法．