Question

一個自然數(shù)，它與99的乘積的各位數(shù)字都是偶數(shù)，求滿足要求的最小值．

Answer 1

考點：最大與最小

專題：整除性問題

分析：設自然數(shù)為n，與99的乘積為99n，然后根據(jù)99的整除性質，可知99n能同時被9和11整除，被9整除：各位數(shù)字和，是9的倍數(shù)；被11整除：奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差，能被11整除（或為0）．再根據(jù)各位數(shù)字都是偶數(shù)，且數(shù)字和是9的倍數(shù)，那么數(shù)字和就是18的整數(shù)倍．經(jīng)過試算，可知兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)、五位數(shù)只軍無解，六位數(shù)時，228888為最小的符合條件的數(shù)，進一步解決問題．

解答： 解：設自然數(shù)為n，與99的乘積為99n，
99=9×11，99n能同時被9和11整除，
被9整除：各位數(shù)字和，是9的倍數(shù)；
被11整除：奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差，能被11整除（或為0）．
各位數(shù)字都是偶數(shù)，且數(shù)字和是9的倍數(shù)，那么數(shù)字和就是18的整數(shù)倍．
再看怎么滿足能被11整除，
數(shù)字和為18，不能滿足；
數(shù)字和為36，18-18=0，滿足，
經(jīng)試乘積最小為228888．
所求自然數(shù)最小為：228888÷99=2312．
答：滿足要求的最小值2312．

點評：此題根據(jù)99的整除性質，推出成乘積最小是228888，是解答此題的關鍵．