Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx（a＞0）與雙曲線y=

k

x

相交于點(diǎn)A，B．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，且OB=2

2

，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）求實(shí)數(shù)k的值；
（2）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（3）如圖2，過拋物線上點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C，請(qǐng)直接寫出所有滿足△EOC∽△AOB的點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A（1，4）代入y=

k

x

，即可求得k的值；
（2）先由點(diǎn)B在雙曲線y=

k

x

上，且OB=2

2

，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx，即可求出a、b的值；
（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y）．先根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱性求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出OC，OA，AB，OB的長度，再由△EOC∽△AOB，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出

OE

OA

=

CE

AB

=

OC

OB

，則OE=2

17

，CE=6

5

，據(jù)此列出關(guān)于x，y的方程組，解方程組求出x，y的值，求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后畫出圖形即可．

解答：解：（1）∵雙曲線y=

k

x

經(jīng)過點(diǎn)A（1，4），
∴k=1×4=4；

（2）設(shè)第三象限內(nèi)的點(diǎn)B坐標(biāo)為（t，

4

t

），則t＜0，
∵OB=2

2

，
∴t²+（

4

t

）²=8，
整理得t⁴-8t²+16=0，
解得t=-2，或t=2（舍去）．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，-2）．
∵點(diǎn)A（1，4），B（-2，-2）都在拋物線y=ax²+bx（a＞0）上，
∴

a+b=4 4a-2b=-2

，解得

a=1  b=3

，
即所求實(shí)數(shù)a，b的值分別為1，3；

（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y）．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），A、C兩點(diǎn)關(guān)于直線x=-

3

2

對(duì)稱，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4，4）．
∵△EOC∽△AOB，
∴

OE

OA

=

CE

AB

=

OC

OB

，即

OE

17

=

CE

3 5

=

4 2

2 2

=2，
∴OE=2

17

，CE=6

5

，
∴

x2+y2=68① (x+4)2+(y-4)2=180②

，
將①代入②，化簡整理得x=y+10③，
把③代入①，得y²+10y+16=0，
解得y=-2或-8，
當(dāng)y=-2時(shí)，x=-2+10=8；
當(dāng)y=-8時(shí)，x=-8+10=2．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是E₁（8，-2）或E₂（2，-8）．
畫出圖形如下：

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合題，考查了用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)、二次函數(shù)的系數(shù)，拋物線的對(duì)稱性，兩點(diǎn)間的距離公式，相似三角形的性質(zhì)，二元二次方程組的解法等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及方程思想是解題的關(guān)鍵．