Question

如圖，Rt△ABC中，斜邊AB在x軸上，C點在y軸上，A點坐標(biāo)為（-2，0），B點坐標(biāo)為（8，0），
（1）直接寫出點C的坐標(biāo)：______，并求出經(jīng)過點A、B、C的拋物線解析式．
（2）若拋物線的對稱軸DE交BC于D，在對稱軸上存在點P，使得以C、D、P為頂點的三角形與△ABC相似，請直接寫出點P的坐標(biāo)：______．
（3）在拋物線的BC段上有一動點M，當(dāng)M在什么位置時，△BCM的面積最大？并求此時△BCM的面積．

Answer 1

解：（1）∵∠ACO+∠BCO=90°，∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠OBC，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴=，即=，
∴OC=4，
故點C的坐標(biāo)為：（0，-4）；
依題意可設(shè)經(jīng)過點A、B、C的拋物線解析式為：y=a（x-8）（x+2），
將C的坐標(biāo)：（0，-4）代入得-4=a（0-8）（0+2），
解得：a=，
故過點A、B、C的拋物線解析式為：y=（x-8）（x+2）．

（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
將B、C的坐標(biāo)代入得：，
解得：，
故直線BC的解析式為：y=x-4，
拋物線解析式為y=（x-8）（x+2）=（x-3）²-，
則拋物線的對稱軸為：x=3，
∴點D的坐標(biāo)為（3，-），

①若∠CPD=90°，
此時∠CDP₁=∠BDE=∠BAC，
∴△ABC∽△DCP₁，
∴=，即=，
解得：DP₁=，
故P₁的坐標(biāo)為（3，-4）；
若∠PCD=90°，此時∠P₂DC=∠BDE=∠BAC，
∴△ABC∽△DP₂C，
∴∠CP₂P₁=∠ABC，
∴△CP₂P₁∽△COB，
∴=，即=，
解得：P₁P₂=6，
故P₂的坐標(biāo)為：（3，-10）；
綜上可得：點P的坐標(biāo)為：（3，-4）或（3，-10）．

（3）在拋物線的BC段上取點M，（如圖）連接MC，MB，作MN⊥AB交BC于N，

設(shè)M的坐標(biāo)為（x，（x-8）（x-2）），N的坐標(biāo)為（x，x-4），
則MN==，
∴S_△BCM=MN×OB=-x²+8x=-（x-4）²+16，
∵a=-1＜0，
∴當(dāng)x=4時，△BCM的面積最大，最大為16．
此時M的坐標(biāo)為（4，-6）．
分析：（1）易得△AOC∽△COB，根據(jù)對應(yīng)邊成比例可求出OC，繼而得出點C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；
（2）分兩種情況討論，①∠CPD=90°，②∠PCD=90°，確定點P的縱坐標(biāo)，即可得出答案．
（3）在拋物線的BC段上取點M，連接MC，MB，作MN⊥AB交BC于N，設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，（x-8）（x-2）），求出直線BC的解析式，可表示出點N的坐標(biāo)，繼而得出MN的長度，再由△BCM的面積=MN×OB，可得出S_△BCM關(guān)于x的表達(dá)式，利用配方法求最值即可．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)及配方法求最值的知識，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要具有扎實的基本功，將所學(xué)知識融會貫通，注意分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想的運用．