Question

（2013•太倉市二模）探究與應(yīng)用．試完成下列問題：
（1）如圖①，已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，作∠POQ=90°，分別交AC、BC于點(diǎn)P、Q，連結(jié)PQ、CO，求證：AP²+BQ²=PQ²；
（2）如圖②，將等腰Rt△ABC改為任意直角三角形，點(diǎn)O仍為AB的中點(diǎn)，∠POQ=90°，試探索上述結(jié)論AP²+BQ²=PQ²是否仍成立；
（3）通過上述探究（可直接運(yùn)用上述結(jié)論），試解決下面的問題：如圖③，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，過C、O兩點(diǎn)的圓分別交AC、BC于P、Q，連結(jié)PQ，求△PCQ面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）證△APO≌△COQ，求出AP=CQ，同理求出BQ=CP，根據(jù)勾股定理求出即可；
（2）延長QO到D，使OD=OQ，連接AD，PD，求出PD=PQ，證△AOD≌△BOQ，推出AD=BQ，∠BAD=∠B，OD=OQ，在Rt△PAD中，由勾股定理得：AP²+AD²=PD²，即可得出答案；
（3）連接PO、OQ，則∠POQ=90°，根據(jù)勾股定理得出AP²+BQ²=PQ²，設(shè)PC=a，CQ=b，推出（6-a）²+（8-b）²=a²+b²，求出b=-

3

4

a+

25

4

，代入S_△PCQ=

1

2

ab求出即可．

解答：（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，O為斜邊AB中點(diǎn)，
∴AO=OC=OB，∠A=∠B=∠OCQ=45°，∠AOC=90°，
∵∠POQ=90°，
∴∠AOP+∠POC=∠POC+∠COQ，
∴∠AOP=∠COQ，
在△AOP和△COQ中

∠A=∠OCQ AO=OC ∠AOP=∠COQ

∴△AOP≌△COQ，
∴AP=CQ，
同理BQ=CP，
在Rt△CPQ中，CP²+PQ²=PQ²，
∴AP²+BQ²=PQ²．

（2）解：還成立，
理由是：延長QO到D，使OD=OQ，連接AD，PD，
∵O是AB中點(diǎn)，
∴AO=OB，
在△AOD和△BOQ中

AO=BO ∠AOD=∠BOQ DO=OQ

∴△AOD≌△BOQ，
∴AD=BQ，∠BAD=∠B，OD=OQ，
∵PO⊥OQ，
∴PD=PQ，
∵∠C=90°，
∴∠PAD=90°，
在Rt△PAD中，由勾股定理得：AP²+AD²=PD²，
∴AP²+BQ²=PQ²．

（3）解：∵∠C=90°，
∴PQ是直徑，
連接PO、OQ，則∠POQ=90°，
∴AP²+BQ²=PQ²，
設(shè)PC=a，CQ=b，
∴（6-a）²+（8-b）²=a²+b²，
∴3a+4b=25，
∴b=-

3

4

a+

25

4

，
∵S_△PCQ=

1

2

ab，
∴S_△PCQ=-

3

8

a²+

25

8

，
當(dāng)a=

25

6

時，△PCQ的面積的最大值是

625

96

．

點(diǎn)評：本題考查了勾股定理，二次函數(shù)的最值，三角形的面積，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力，有一定的難度．