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求證：a、b為兩個整數，則a+b，a-b，ab三者中至少有一個是3的倍數．
【答案】分析：由已知a、b為兩個整數，可根據整數的性質及數的整除性，分a和b有3的倍數、a和b都不是3的倍數進行分類推理證明．
解答：證明：若a和b中有3的倍數，則ab是3的倍數；
若兩個都不是3的倍數，
則：若a和b除以3，余數相同，即都余1或余2，則a-b除以3，余數是1-1=0或2-2=0，所以a-b是3的倍數；
若a和b除以3，余數分別是1和2，則a+b除以3，余數是1+2=3，即整除，所以a+b是3的倍數．
綜上 a+b，a-b，ab三者中至少有一個是3的倍數．
點評：此題是運用整數的性質及數的整除性解答整數問題．解答此題關鍵是運用分類討論法證明．
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相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

已知：正方形的邊長為1
（1）如圖①，可以算出正方形的對角線為
 
，求兩個正方形并排拼成的矩形的對角線長，n個呢
？
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（2）根據圖②，求證△BCE∽△BED；
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（3）由圖③，在下列所給的三個結論中，通過合情推理選出一個正確的結論加以證明，1．∠BEC+∠BDE=45°；⒉∠BEC+∠BED=45°；⒊∠BEC+∠DFE=45°
注意：你完成整張試卷全部試題的解答后，如果還有時間在圖③中發(fā)現新的結論（不準添加輔助線和其它字母）并加以證明，將酌情加1～3分．

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科目：初中數學 來源： 題型：

已知：關于x的兩個方程
2x2+（m+4）x+m-4=0，①
與mx2+（n-2）x+m-3=0，②
方程①有兩個不相等的負實數根，方程②有兩個實數根．
（1）求證方程②的兩根符號相同；
（2）設方程②的兩根分別為α、β，若α：β=1：2，且n為整數，求m的最小整數值．

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科目：初中數學 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)一模）已知關于x的方程 mx2+（3m+1）x+3=0．
（1）求證：不論m為任何實數，此方程總有實數根；
（2）若拋物線y=mx2+（3m+1）x+3與x軸交于兩個不同的整數點，且m為正整數，試確定此拋物線的解析式；
（3）若點P（x1，y1）與Q（x1+n，y2）在（2）中拋物線上 （點P、Q不重合），且y1=y2，求代數式4x12+12x1n+5n2+16n+8的值．

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科目：初中數學 來源： 題型：

（2013•房山區(qū)二模）已知二次函數y=x2+kx+
1
2
k-
7
2
．
（1）求證：不論k為任何實數，該函數的圖象與x軸必有兩個交點；
（2）若該二次函數的圖象與x軸的兩個交點在點A（1，0）的兩側，且關于x的一元二次方程k2x2+（2k+3）x+1=0有兩個不相等的實數根，求k的整數值；
（3）在（2）的條件下，關于x的另一方程x2+2（a+k）x+2a-k2+6k-4=0 有大于0且小于3的實數根，求a的整數值．

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科目：初中數學 來源：2013-2014學年北京海淀區(qū)九年級第一學期期中測評數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知關于的一元二次方程．

（1）求證：此方程總有兩個實數根；

（2）若此方程的兩個實數根都是整數，求的整數值；

（3）若此方程的兩個實數根分別為、，求代數式的值．

 

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