Question

（2013•河西區(qū)二模）如圖△ADE可由△CAB旋轉(zhuǎn)而成，點B的對應(yīng)點是E，點A的對應(yīng)點是D，點A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，0）（3，0）（1，4）．
（Ⅰ）寫出點E和旋轉(zhuǎn)中心Q的坐標(biāo)；
（Ⅱ）將△ADE沿垂直于x軸的線段PT折疊（點T在x軸上，點P在AE上，P與A、E不重合），使點A落在x軸上，點A的對應(yīng)點為點F，是否存在這樣的點T，使得△PEF為直角三角形？若存在，求出點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，可知△ABC≌△DEA，則AB=DE=2，AC=DA=4，由此求出點E的坐標(biāo)；根據(jù)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等可知旋轉(zhuǎn)中心Q既在線段AD的垂直平分線上，又在線段AC的垂直平分線上，求出線段AD與線段AC的垂直平分線，它們的交點即為Q，故可得出Q點的坐標(biāo)；
（2）由于tan∠EAD=

1

2

，所以∠EAD≠45°，∠APT≠45°，∠APF≠90°，則∠EPF≠90°，當(dāng)△PEF為直角三角形時，分兩種情況進行討論：（i）當(dāng)△PFE以點E為直角頂點時，作EF⊥AE交x軸于F，由△AED∽△EFD，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的邊相等列出比例式，即可求解；（ii）當(dāng)△P′F′E以點F′為直角頂點時，由△AED∽△EF′D，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的邊相等列出比例式，即可求解．

解答：解：（I）∵Rt△ADE可由Rt△CAB旋轉(zhuǎn)而成，點B的對應(yīng)點是E，點A的對應(yīng)點是D，
∴△ADE≌△CAB，
∴AD=CA=4，DE=AB=2，
∴OD=OA+AD=1+4=5，
∴E點坐標(biāo)為（5，2）；
∵A（1，0），B（3，0），C（1，4），
∴AC=4，
∴D（5，0），
∴線段AD的垂直平分線為x=

1+5

2

=3，線段AC的垂直平分線為y=2，
∴Q（3，2）；

（II）存在這樣的點T（

7

2

，0）和（

5

2

，0），能夠使得△PEF為直角三角形．
分兩種情況：
（i）當(dāng)△PFE以點E為直角頂點時，如圖1，作EF⊥AE交x軸于F．
∵△AED∽△EFD，
∴

DF

DE

=

ED

AD

=

1

2

，
∴DF=

1

2

DE=1，
∴點F（6，0），
∴點T（

7

2

，0）；
（ii）當(dāng)△P′F′E以點F′為直角頂點時，如圖．
∵△AED∽△EF′D，
∴

DF′

DE

=

DE

AD

=

1

2

，
∴DF′=

1

2

DE=1，
∴點F′（4，0），
∴點T（

5

2

，0）．
綜上（i）、（ii）知，滿足條件的點T坐標(biāo)為（

7

2

，0）和（

5

2

，0）．

點評：本題考查的是幾何變換綜合題，涉及到旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，有一定難度．運用數(shù)形結(jié)合及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．