Question

平面上兩條直線(xiàn)AB、CD相交于點(diǎn)O，且∠BOD=150⁰（如圖），現(xiàn)按如下要求規(guī)定此平面上點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”：

（1）點(diǎn)O的“距離坐標(biāo)”為（0，0）；

（2）在直線(xiàn)CD上，且到直線(xiàn)AB的距離為p（p＞0）的點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”為（p，0）；在直線(xiàn)AB上，且到直線(xiàn)CD的距離為q（q＞0）的點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”為（0，q）；

（3）到直線(xiàn)AB、CD的距離分別為p、q（p＞0，q＞0）的點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”為（p，q）。

設(shè)M為此平面上的點(diǎn)，其“距離坐標(biāo)”為（m，n），根據(jù)上述對(duì)點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”的規(guī)定，解決下列問(wèn)題：

（1）畫(huà)出圖形（保留畫(huà)圖痕跡）：

①滿(mǎn)足m=1且n=0的點(diǎn)的集合；

②滿(mǎn)足m=n的點(diǎn)的集合；

（2）若點(diǎn)M在過(guò)點(diǎn)O且與直線(xiàn)CD垂直的直線(xiàn)l上，求m與n所滿(mǎn)足的關(guān)系式。

（說(shuō)明：圖中OI長(zhǎng)為一個(gè)單位長(zhǎng)）

 

Answer 1

【答案】

（1）①如圖1中，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂即為所求；②如圖2中，兩條角平分線(xiàn)即為所求

（2）

【解析】解：（1）①如圖1中，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂即為所求；

                 ②如圖2中，兩條角平分線(xiàn)即為所求。

（2）如圖3，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AB于點(diǎn)H。

 

 

則根據(jù)定義，MH=m，MO=n。

 ∵∠BOD=150⁰，∠DOM=90⁰（∵l⊥CD），

 ∴ ∠HOM=60⁰。

 在Rt△MHO中，，

 ∴ ，即，即

∴ m與n所滿(mǎn)足的關(guān)系式為。

（1）①以點(diǎn)I為圓心，OI為半徑畫(huà)圓交AB于點(diǎn)E；以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑畫(huà)圓交CD于點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，則F₁，F(xiàn)₂即為所求。

由作法知，OF₁=2OI=2，由∠BOD=150⁰知∠EOF₁=30⁰，根據(jù)含30⁰角直角三角形中30⁰角所對(duì)邊是斜邊一半的性質(zhì)，得點(diǎn)F₁到AB的距離m =1，同時(shí)點(diǎn)F₁在CD上，即n=0。同理，F(xiàn)₂的證明。

②分別作∠BOD和∠BOC的平分線(xiàn)，根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，兩角平分線(xiàn)上的點(diǎn)滿(mǎn)足m=n，故兩條角平分線(xiàn)即為所求。

（2）由已知和銳角三角函數(shù)定義即可得出m與n所滿(mǎn)足的關(guān)系式。