Question

【題目】拋物線y=x2﹣2mx﹣3m2（m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊，與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為M．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求點(diǎn)A、B、M坐標(biāo)；
（2）如圖（1）的條件下，若P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AP為斜邊的等腰直角的直角頂點(diǎn)Q在對(duì)稱(chēng)軸上，（A、P、Q按順時(shí)針?lè)较蚺帕校�，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

（3）如圖2，若一次函數(shù)y=kx+b過(guò)B點(diǎn)且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，平移直線y=kx+b，使其過(guò)拋物線的頂點(diǎn)M，與拋物線另一個(gè)交點(diǎn)為D，與x軸交于F點(diǎn)，當(dāng)m變化時(shí)，求證：DF：MF是定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)m=1時(shí)，拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3，

當(dāng)y=0時(shí)，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，則A（﹣1，0），B（3，0）；

∵y=（x﹣1）2﹣4，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）；

（2）解：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，直線x=1交x軸于N，設(shè)P（t，t2﹣2t﹣3），Q（1，a）

作PH⊥直線x=1于點(diǎn)H，如圖，

∵△APQ為等腰直角三角形，

∴PQ=AQ，∠AQP=90°，

∵∠AQH+∠AQN=90°，∠AQN+∠QAN=90°，

∴∠PQH=∠QAN，

在△PQH和△QAN中

，

∴△PQH≌△QAN，

∴QH=AN，PH=QN，

即t2﹣2t﹣3﹣a=2，1﹣t=a，

∴t2﹣2t﹣3﹣（1﹣t）=2，

整理得t2﹣t﹣5=0，解得t1= ，t2= ，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）或（ ， ）；

（3）解：證明：y=x2﹣2mx﹣3m2=（x﹣m）2﹣4m2，則M（m，﹣4m2），

當(dāng)y=0時(shí)，x2﹣2mx﹣3m2=0，解得x1=﹣m，x2=3m，則B（3m，0），

把B（3m，0）代入y=kx+b得3mk+b=0，解得b=﹣3mk，

則直線y=kx+b的解析式表示為y=kx﹣3mk，

∵一次函數(shù)y=kx﹣3mk與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴方程x2﹣2mx﹣3m2=kx﹣3mk有相等的實(shí)數(shù)解，

方程整理為x2﹣（2m+k）x﹣3m2+3mk=0，

∵△=（2m+k）2﹣4（﹣3m2+3mk）=0，

∴k=4m，

∴一次函數(shù)y=kx+b表示為y=4mx﹣12m2，

設(shè)直線y=kx+b平移后的解析式為y=4mx+n，

把M（m，﹣4m2）代入得﹣4m2=﹣4m2+n，解得n=﹣8m2，

即經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的直線解析式為y=4mx﹣8m2，

當(dāng)y=0時(shí)，4mx﹣8m2=0，解得x=2m，則F（2m，0）

解方程組 得 或 ，則D（5m，12m2）

作AG⊥x軸于E，MG∥x軸，它們相交于點(diǎn)G，如圖2，

∵EF∥MG，

∴ = = =3．

【解析】（1）把m=1代入得到拋物線的解析式，然后利用配方法可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，接下來(lái)，令y=0可求得對(duì)應(yīng)的x的值，從而可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)P（t，t2﹣2t﹣3），Q（1，a），作PH⊥直線x=1于點(diǎn)H，首先證明△PQH≌△QAN，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到QH=AN，PH=QN，從而可得到關(guān)于a、t的方程組，解方程組可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）作AG⊥x軸于E，MG∥x軸，它們相交于點(diǎn)G，利用配方法求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（m，﹣4m2），然后令y=0可求得B（3m，0），把B（3m，0）代入y=kx+b得3mk+b=0，求得b的值，從而得直線的解析式為y=kx﹣3mk，接下來(lái)，將y=kx﹣3mk代入拋物線的解析式，得到關(guān)于x的方程，然后由一次函數(shù)y=kx﹣3mk與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)可得到△=0，從而可得到k與m的關(guān)系，設(shè)直線y=kx+b平移后的解析式為y=4mx+n，把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得到n=﹣8m2，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的直線解析式為y=4mx﹣8m2，然后再求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，解方程組可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后，依據(jù)平行線分線段成比例定理求解即可.