（2012•寧波模擬）已知等邊△ABC和Rt△DEF按如圖所示的位置放置，點B，D重合，且點E、B（D）、C在同一條直線上．其中∠E=90°，∠EDF=30°，AB=DE=6
3
，現(xiàn)將△DEF沿直線BC以每秒
3
個單位向右平移，直至E點與C點重合時停止運動，設(shè)運動時間為t秒．
（1）試求出在平移過程中，點F落在△ABC的邊上時的t值；
（2）試求出在平移過程中△ABC和Rt△DEF重疊部分的面積s與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當D與C重合時，點H為直線DF上一動點，現(xiàn)將△DBH繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACK，則是否存在點H使得△BHK的面積為4
3
？若存在，試求出CH的值；若不存在，請說明理由．
分析：（1）分當F在邊AB上時和在AC邊上時，兩種情況進行討論，分別利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等求得移動的距離，即可求得時間；
（2）根據(jù)（1）得到的時間，即可根據(jù)t的范圍分情況進行討論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，以及三角形的面積公式即可得到函數(shù)解析式；
（3）首先求得當B，H，K在一條直線上時CK的長度，然后利用：△BHK的面積、△BCK的面積、△XKH的面積、△BCH的面積之間的關(guān)系，即可得到一個關(guān)于CK的長度的方程，解得CK的長度．
解答：解：（1）當F在邊AB上時，如圖（1），作AM⊥BC，則AM=
3
2
AB=
3
2
×6
3
=9，
∵AM⊥BC，∠FEB=90°
∴EF∥AM，
∴△BEF∽△BMA，
∴
BE
BM
=
EF
AM
，即
BE
3
3
=
6
9
，解得：BE=2
3
，則移動的距離是：6
3
+2
3
=8
3
，則t=
8
3
3
=8；
當F在AC上時，如圖（2）同理可得：EC=2
3
，則移動的距離是：2×6
3
-2
3
=12
3
-2
3
=10
3
，則t=
10
3
3
=10，
故t的值是：8或10；





（2）當0＜t≤6時，重合部分是三角形，如圖（3），設(shè)AB與BE交于點N，
則BD=
3
t，
則NB=
1
2
BD=
3
2
t，ND=
3
2
BD=
3
2
×
3
t=
3
2
t，則s=
1
2
NB•ND=
1
2
×
3
2
t×
3
2
t=
3
3
8
t2；
當6＜t≤8時，重合部分是：△EFD在△ABC左邊的部分的面積是：
1
2
（6-t）2 sin30°•cos30°
=
3
8
（6-t）2，
右邊的部分的面積是：
3
2
t-9，
則S=18
3
-
3
8
（6-t）2-
3
2
t+9=-
3
8
t2+
3
3
-3
2
t+
27
3
2
+9，
當8＜t＜10時，如圖（4），則CD=
3
t-6
3
，
∵∠TCB=60°，∠D=30°
∴∠DTC=30°，
∴∠D=∠DTC，
∴TC=CD=
3
t-6
3
，
則在直角△THC中，TH=
3
2
TC=
3
2
（
3
t-6
3
）=
3
2
t-9，
則s=18
3
-
1
2
CD•TH=18
3
-
1
2
（
3
t-6
3
）（
3
2
t-9）=-
3
3
4
（t-6）2+18
3
；
當10≤t＜12時，重合部分如圖（5），
EC=12
3
-
3
t，
則直角△ECJ中，EJ=
3
EC=
3
（12
3
-
3
t），
則s=
1
2
EC•EJ=
1
2
×
3
（12
3
-
3
t）2=
3
3
2
（12-t）2．

（3）當B，H，K在一條直線上時，CH=CK=BC•tan30°=6
3
×
3
3
=6，
設(shè)CH=x，作HL⊥BC于點L，則HL=
1
2
x，
△CKH是邊長是x的等邊三角形，則面積是
3
4
x2，
△BCH的面積是：
1
2
BC•HL=3
3
×
1
2
x=
3
3
2
x，
△BCK的面積是：3
3
x．
當0＜CH＜6時，△BHK的面積=△BCK的面積-△CKH的面積-△BCH的面積，即3
3
x-
3
3
2
x-
3
4
x2=4
3
，方程無解．
當CH＞6時，△BHK的面積=△CKH的面積+△BCH的面積-△BCK的面積，即
3
4
x2+
3
3
2
x-3
3
x=4
3
，解得：x=8或-2（舍去），故x=8
總之，CH=8．
點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)，正確對t的情況進行分類是關(guān)鍵．
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3
2
3
2
，S2=
5
2
5
2
，S2012=
2012
1
2
2012
1
2
．

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x2+4x+4
x2-4
-
x
x-2
，其中x=1．

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m2-n2
mn
的值等于（　　）

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