Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長與Rt△PQR的直角邊PQ的長均為4cm，QR=8cm，AB與QR在同一條直線l上．開始時點Q與點B重合，讓△PQR以1cm/s速度在直線l上運動，直至點R與點A重合為止，ts時△PQR與正方形ABCD重疊部分的面積記為Scm²．
（1）當t=3s時，求S的值；
（2）求S與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）寫出t為何值時，重疊部分的面積S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）當t=3秒時，QB=3，BR=QR-QB=5．根據Rt△RBM∽Rt△RQP中的成比例線段

BR

QR

=

BM

QP

，可求得BM=

5

2

．所以S=

1

2

（QP+BM）•QB=

39

4

（平方厘米）．
（2）同（1），當0≤t≤4時，如圖1所示，則QB=t，BR=8-t所以BM=

8-t

2

即S=-

1

4

t²+4t；當4＜t≤8時，QB=t，BR=8-t，QA=t-4，AR=AB+BR=4+（8-t）=12-t，所以AM=

12-t

2

，BN=

8-t

2

，即S=

1

2

AM•AR=-

1

4

t²+4t（8＜t≤12）；
（3）當t=4時，重疊部分面積S有最大值，并且S的最大值為12平方厘米．

解答：解：
（1）當t=3秒時，如圖1所示，設PR與BC交于點M，則QB=3，BR=QR-QB=5
∵Rt△RBM∽Rt△RQP
∴

BR

QR

=

BM

QP

，即

5

8

=

BM

4

∴BM=

5

2

∴S=

1

2

（QP+BM）•QB=

1

2

×（4+

5

2

）×3=

39

4

（平方厘米）．

（2）當0≤t≤4時，如圖1所示，則QB=t，BR=8-t
由（1）知

BR

QR

=

BM

QP

，即

8-t

8

=

BM

4

．
∴BM=

8-t

2

．
∴S=

1

2

(QP+BM)•QB=

1

2

×(4+

8-t

2

)•t=-

1

4

t2+4t
當4＜t≤8時，如圖2所示，設PR分別與DA、CB交于點M、N，則
QB=t，BR=8-t，QA=t-4，AR=AB+BR=4+（8-t）=12-t
∵Rt△RAM∽Rt△RQP
∴

AM

QP

=

AR

QR

，即

AM

4

=

12-t

8

，
∴AM=

12-t

2

．
∵Rt△RBN∽Rt△RQP，
∴

BN

QP

=

BR

QR

，即

BN

4

=

8-t

8

，
∴BN=

8-t

2

∴S=

1

2

(AM+BN)•AB=

1

2

(

12-t

2

+

8-t

2

)×4=20-2t
當8＜t≤12時，如圖3所示，設PR交DA于點M，則QB=t，RB=t-8，AR=4-RB=12-t．
∵Rt△RAM∽Rt△RQP
∴

AR

QR

=

AM

QP

，即

12-t

8

=

AM

4

∴AM=

12-t

2

∴S=

1

2

AM•AR=

1

2

×

12-t

2

×(12-t)=

1

4

(12-t)2=

1

4

t2-6t+36
綜上所述，S=

- 1 4 t2+4t(0≤t≤4) 20-2t(4＜t≤8) 1 4 t2-6t+36(8＜t≤12)

（3）當t=4時PQ與DA重合，再向左移動，則重疊部分梯形的面積減�。�故t=4s時，重疊部分面積S有最大值，并且S的最大值為12平方厘米．

點評：主要考查了正方形和二次函數的綜合題．要掌握數形結合的方法，會利用二次函數的最值找到幾何圖形著的動點問題的最值．注意分段函數的表示方法即求算方法．