Question

如圖．已知由平行四邊形ABCD各頂點向形外一條直線l作垂線，設(shè)垂足分別為A′，B′，C′，D′．
（1）求證：A′A+C′C=B′B+D′D；
（2）如果移動直線l，使它與四邊形ABCD的位置關(guān)系相對變動得更特殊一些（如l過A，或l交AB，BC等），那么，相應(yīng)地結(jié)論會有什么變化？試作出你的猜想和證明；
（3）如果考慮直線l和平行四邊形更一般的關(guān)系（如平行四邊形變成圓，或某一中心對稱圖形，垂線AA'，BB'，CC'，DD'只保持平行等），那么又有什么結(jié)論，試作出你的猜想和證明．

Answer 1

分析：（1）連接AB、CD交點為O，利用梯形中位線定理可證．
（2）連接AB、CD交點為O，利用梯形中位線定理和三角形中位線定理可證．
（3）連接AB、CD交點為O，利用梯形中位線定理可證．

解答：（1）證明：連接AC、BD相交于點O，過點O作OE⊥l，
在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，
則點O為AC、BD的中點，
∴OE分別為梯形AA′C′C，梯形BB′D′D的中位線，
則在梯形AA′C′C中，OE=

1

2

（AA′+CC′），
在梯形BB′D′D中，OE=

1

2

（BB′+DD′），
∴A′A+C′C=B′B+D′D；

（2）解：上述結(jié)論仍然成立．
如下圖，連接AC、BD相交于點O，過點O作OE⊥l，
在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，
則點O為AC、BD的中點，
∴OE分別為梯形DD′BB′，三角形ACC′的中位線，
∴OE=

1

2

（AA′+CC′），OE=

1

2

（BB′+DD′），
∴A′A+C′C=B′B+D′D；

（3）解：如平行四邊形變成某一中心對稱圖形時，上述結(jié)論仍然成立．
如下圖，連接AC、BD相交于點O，過點O作OE⊥l，
在正六邊形中，對角線AC、BD相交于點O，
則點O為AC、BD的中點，
∴OE分別為梯形DD′BB′，梯形AA′CC′的中位線，
∴OE=

1

2

（AA′+CC′），OE=

1

2

（BB′+DD′），
∴A′A+C′C=B′B+D′D．

點評：本題主要考查了平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)、中心對稱圖形的性質(zhì)及梯形中位線的性質(zhì)，要求學(xué)生熟練掌握．