Question

3．已知：∠AOB=60°，射線OC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，OD、OE分別是∠BOC和∠COA的平分線，求∠DOE的度數(shù)．

Answer 1

分析 分類討論：當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)部，如圖1，根據(jù)角平分線定義易得∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC，則∠DOE=∠DOC+∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°；當(dāng)OC在∠AOB外部，且靠近OB，如圖2，根據(jù)角平分線定義得到∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC，則∠DOE=∠COE-∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°；當(dāng)OC在∠AOB外部，且靠近OA，如圖3，同樣可得到∠DOE=30°．

解答 解：當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)部，如圖1，

∵OD、OE分別是∠BOC和∠COA的平分線，
∴∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=$\frac{1}{2}$（∠BOC+∠AOC）=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×60°=30°；
當(dāng)OC在∠AOB外部，且靠近OB，如圖2，
∵OD、OE分別是∠BOC和∠COA的平分線，
∴∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠DOE=∠COE-∠COD=$\frac{1}{2}$（∠AOC-∠BOC）=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×60°=30°；
當(dāng)OC在∠AOB外部，且靠近OA，如圖3，同樣可得到∠DOE=30°，
綜上所述，∠DOE的度數(shù)為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線的定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線則∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．