Question

如圖①，已知拋物線C₁：的頂點(diǎn)為C，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及 a 的值；

（2）如圖②，拋物線C₂與C₁關(guān)于x軸對稱，將拋物線C₂向右平移4個單位，得到拋物線C₃．C₃與x軸交于點(diǎn)B、E，點(diǎn)P是直線CE上方拋物線C₃上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交CE于點(diǎn)F．

①求線段PF長的最大值；

②若PE＝EF，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

 

Answer 1

解：（1）頂點(diǎn)C為（－1，－4） ………………………………………1分

∵點(diǎn)B（1，0）在拋物線C₁上，∴，解得，a＝1 ………2分

（2）①∵C₂與C₁關(guān)于x軸對稱，∴拋物線C₂的表達(dá)式為……3分

拋物線C₃由C₂平移得到,∴拋物線C₃為  ……4分

∴E（5，0）

設(shè)直線CE的解析式為：y=kx+b，

則，解得，…………………………………………………5分

∴直線BC的解析式為y=x﹣， …………………………………………………6分

設(shè)P（x，﹣x²+6x﹣5），則F（x，x﹣），

∴PF=（﹣x²+6x﹣5）﹣（x﹣）=﹣x²+x﹣=﹣（x﹣）²+，………8分

∴當(dāng)x=時，PF有最大值為．…………………………………………………9分

②若PE＝EF，∵ PF⊥x軸，∴x軸平分PF，

∴﹣x²+6x﹣5＝－x＋，　…………………………………………………10分

解得x₁＝，x₂＝5（舍去）

∴P（，）．