如圖,在△ABC中,AC=BC,CH⊥AB于H,點P是線段CH上不與端點重合的任意一點,連接AP,BP分別與BC,AC交于點E,F(xiàn).
(1)求證:AE=BF;
(2)以線段AE,BF和AB為邊構(gòu)成一個新三角形ABG(點E,F(xiàn)重合于點G),將△ABG和△ABC的面積分別記為S△ABG和S△ABC,如果存在點P使得S△ABG=S△ABC,求∠ACB的取值范圍.

證明:(1)∵△ABC是等腰△,CH是底邊上的高線,
∴AC=BC,∠ACP=∠BCP.
又∵CP=CP,
∴△ACP≌△BCP.
∴∠CAP=∠CBP,即∠CAE=∠CBF.
∵∠ACE=∠BCF,∠CAE=∠CBF,AC=BC,
∴△ACE≌△BCF.
∴AE=BF.

(2)由(1)知△ABG是以AB為底邊的等腰三角形,
∴S△ABC=S△ABG
∴AE=AC.
①當(dāng)∠ACB為直角或鈍角時,在△ACE中,不論點P在CH何處,均有AE>AC,所以結(jié)論不成立;
②當(dāng)∠ACB為銳角時,∠A=90°-∠ACB,而∠CAE<∠A,要使AE=AC,只需使∠ACB=∠CEA,
此時,∠CAE=180°-2∠ACB,
只須180°-2∠ACB<90°-∠ACB,解得60°<∠ACB<90°.
(也可在△CEA中通過比較∠C和∠CEA的大小而得到結(jié)論)
分析:(1)證得△ACP≌△BCP,然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等、等量代換知∠CAE=∠CBF,再來證得△ACE≌△BCF;最后由全等三角形的對應(yīng)邊相等證明AE=BF;
(2)∠C的取值應(yīng)按直角,銳角,鈍角分情況進(jìn)行討論.
點評:本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì);兩條線段在不同的三角形中要證明相等時,通常是利用全等來進(jìn)行證明.需注意已證得條件在以后證明中的應(yīng)用,以及分情況進(jìn)行討論等情況.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

20、如圖,在△ABC中,∠BAC=45°,現(xiàn)將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°至△ADE的位置,使AC⊥DE,則∠B=
75
度.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,取斜邊的中點,向斜邊作垂線,畫出一個新的等腰三角形,如此繼續(xù)下去,直到所畫出的直角三角形的斜邊與△ABC的BC重疊,這時這個三角形的斜邊為
(  )
A、
1
2
B、(
2
2
7
C、
1
4
D、
1
8

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

2、如圖,在△ABC中,DE∥BC,那么圖中與∠1相等的角是( �。�

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,AB=AC,且∠A=100°,∠B=
 
度.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

14、如圖,在△ABC中,AB=BC,邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點E、D,若BC=10,AC=6cm,則△ACE的周長是
16
cm.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案