Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC, AB = CD,E是AD的中點(diǎn)，AD=4，BC=6,點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），PE與BD相交于點(diǎn)O,設(shè)PB的長為x.

(1) 當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：△BOP∽△DOE.
(2) 當(dāng)x = （   ）時(shí)，四邊形ABPE是平行四邊形；當(dāng)x = （   ）時(shí)，四邊形ABPE是直角梯形；
（3）當(dāng)P在BC上運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形ABPE會(huì)不會(huì)是等腰梯形？試說明理由.

Answer 1

（1）證明見解析(2) 2；3（3）當(dāng)PB=4時(shí)，四邊形ABPE是等腰梯形

（1） ∵AD∥BC，
∴∠CBD = ∠ADB.
∵∠BOP=∠DOE，
∴△BOP∽△DOE.              ………………………………3分
（2）2；3                          ………………………………5分
（3）當(dāng)PB=4時(shí)，四邊形ABPE是等腰梯形.     ………………6分
證明：∵AD∥BC即DE∥PC，
∴當(dāng)PC=DE=2,即PB=BC-PC=4時(shí)，四邊形PCDE是平行四邊形，
∴PE=CD.
又∵AB=CD，
∴PE=AB.
∵AE∥PB且AE與PB不相等，
∴四邊形ABPE是等腰梯形.        ………………………………9分
(1)根據(jù)相似三角形的判定求證
(2)根據(jù)平行四邊形和直角梯形的性質(zhì)求解
（3）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)求證