如圖所示,在Rt△OBC中,∠OBC=90°,以O(shè)為圓心,OB為半徑的⊙O交BO的延長(zhǎng)線于A,BD⊥OC于D,交⊙O于E,連接CE并延長(zhǎng)交直線AB于P.
(1)求證:CE是⊙O的切線.
(2)若CE=,⊙O的半徑為5,求PE的長(zhǎng)?

【答案】分析:(1)連接EO,△EOB為等腰三角形,推出∠DOB=∠DOE,結(jié)合題意推出△CEO≌△CBO,得OE⊥PC,即可推出結(jié)論,
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論可知BC=CE=,結(jié)合題意可以推出△PEO∽△PBC,求得,在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理即可推出PE的長(zhǎng)度.
解答:(1)證明:連接EO,
∴△EOB為等腰三角形,
∵BD⊥OC于D,
∴∠DOB=∠DOE,
∴△CEO≌△CBO,
∵∠OBC=90°,
∴OE⊥PC,
∴CE是⊙O的切線.

(2)解:∵OE⊥PC,∠OBC=90°,
∴∠EOP=∠BCP,
∴△PEO∽△PBC,
∵OE=5,BC=EC=,

設(shè)PE=3x,PB=4x,
∴(3x+2-(4x)2=(2
解方程得:x(40-7x)=0,
x1=0(舍去)
x2=,
∴PE=
點(diǎn)評(píng):本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理,解題的關(guān)鍵在于求證△CEO≌△CBO;△PEO∽△PBC,推出
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