Question

【題目】如圖，直線y=﹣2x+4交y軸于點(diǎn)A，交拋物線 于點(diǎn)B（3，﹣2），拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，作PE⊥DB交DB所在直線于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)△PDE為等腰直角三角形時，求出PE的長及P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，連接PB，將△PBE沿直線AB翻折，直接寫出翻折點(diǎn)后E的對稱點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）PE=5或2，P（2，﹣3）或（5，3）；（3）E的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）或（3.6，﹣1.2）．

【解析】試題分析：（1）把B（3，﹣2），C（﹣1，0）代入即可得到結(jié)論；

（2）由求得D（0，﹣2），根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到DE=PE，列方程即可得到結(jié)論；

（3）①當(dāng)P點(diǎn)在直線BD的上方時，如圖1，設(shè)點(diǎn)E關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為E′，過E′作E′H⊥DE于H，求得直線EE′的解析式為，設(shè)E′（m， ），根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；②當(dāng)P點(diǎn)在直線BD的下方時，如圖2，設(shè)點(diǎn)E關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為E′，過E′作E′H⊥DE于H，得到直線EE′的解析式為，設(shè)E′（m， ），根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

試題解析：解：（1）把B（3，﹣2），C（﹣1，0）代入得： ，∴，∴拋物線的解析式為；

（2）設(shè)P（m， ），在中，當(dāng)x=0時，y=﹣2，∴D（0，﹣2），∵B（3，﹣2），∴BD∥x軸，∵PE⊥BD，∴E（m，﹣2），∴DE=m，PE=，或PE=，∵△PDE為等腰直角三角形，且∠PED=90°，∴DE=PE，∴m= ，或m= ，解得：m=5，m=2，m=0（不合題意，舍去），∴PE=5或2，P（2，﹣3）或（5，3）；

（3）①當(dāng)P點(diǎn)在直線BD的上方時，如圖1，設(shè)點(diǎn)E關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為E′，過E′作E′H⊥DE于H，由（2）知，此時，E（5，﹣2），∴DE=5，∴BE′=BE=2，∵EE′⊥AB，∴設(shè)直線EE′的解析式為 ，∴﹣2=×5+b，∴b=﹣，∴直線EE′的解析式為，設(shè)E′（m， ），∴E′H=﹣2﹣= ，BH=3﹣m，∵E′H2+BH2=BE′2，∴（）2+（3﹣m）2=4，∴m=，m=5（舍去），∴E′（，﹣）；

②當(dāng)P點(diǎn)在直線BD的下方時，如圖2，設(shè)點(diǎn)E關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為E′，過E′作E′H⊥DE于H，由（2）知，此時，E（2，﹣2），∴DE=2，∴BE′=BE=1，∵EE′⊥AB，∴設(shè)直線EE′的解析式為，∴﹣2=×2+b，∴b=﹣3，∴直線EE′的解析式為，設(shè)E′（m， ），∴E′H==，BH=m﹣3，∵E′H2+BH2=BE′2，∴（）2+（m﹣3）2=1，∴m=3.6，m=2（舍去），∴E′（3.6，﹣1.2）．

綜上所述，E的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）或（3.6，﹣1.2）．