Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O直徑，D是的中點，DE⊥AC交AC的延長線于E，⊙O的切線交AD的延長線于F．

（1）求證：直線DE與⊙O相切；

（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半徑為5，求tan∠F的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2．

【解析】試題分析：（1）連接BC、OD，由D是弧BC的中點，可知：OD⊥BC；由OB為⊙O的直徑，可得：BC⊥AC，根據(jù)DE⊥AC，可證OD⊥DE，從而可證DE是⊙O的切線；

（2）直接利用勾股定理得出GO的長，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出tan∠F的值．

試題解析：解：（1）證明：連接OD，BC，∵D是弧BC的中點，∴OD垂直平分BC，∵AB為⊙O的直徑，∴AC⊥BC，∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD為⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵D是弧BC的中點，∴，∴∠EAD=∠BAD，∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，∴DE=DG=4，∵DO=5，∴GO=3，∴AG=8，∴tan∠ADG==2，∵BF是⊙O的切線，∴∠ABF=90°，∴DG∥BF，∴tan∠F=tan∠ADG=2．