Question

如圖，點(diǎn)O是四邊形BCED外接圓的圓心，點(diǎn)O在BC上，點(diǎn)A在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且∠ADB=∠DEB，EF⊥BC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)M，EM=2

5

．
（1）求證：AD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若弧BM上有一動(dòng)點(diǎn)P，且DE=

14

，sin∠CPM=

2

3

，求tan∠DBE的值．

Answer 1

分析：（1）連接OD，證OD⊥AD即可；可根據(jù)圓周角定理、直角三角形及等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明．
（2）已知了∠CPM的正弦值，也就得到∠CEF的正弦值，進(jìn)而可通過(guò)解直角三角形求得CF的長(zhǎng)，進(jìn)而可在Rt△BEC中，利用射影定理求得BF的長(zhǎng)，即可得到⊙O的直徑；過(guò)E作⊙O的直徑EN，連接DN，根據(jù)圓周角定理，即可將∠DBE轉(zhuǎn)化到Rt△DNE中，先利用勾股定理求得DN的長(zhǎng)，然后再求出∠DNE（即∠DBE）的正切值即可．

解答：（1）證明：連接OD；
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，即∠DBO+∠DCB=90°；
又∵∠ADB=∠BED=∠DCB，且∠OBD=∠ODB，
∴∠ADB+∠ODB=∠DCB+∠DBO=90°，
即OD⊥AD，而OD是⊙O的半徑，
故AD是⊙O切線(xiàn)．

（2）解：由圓周角定理知：∠CPM=∠CEM，即sin∠CEF=

2

3

；
設(shè)CF=2x，則CE=3x，由勾股定理得：EF=

5

x；
而EF=

1

2

EM=

5

，即x=1，CF=2，CE=3；
在Rt△BEC中，EF⊥BC，由射影定理得：
BF=EF²÷CF=

5

2

，則BC=CF+BF=

9

2

；
過(guò)E作直徑EN，連接DN，則EN=BC=

9

2

；
在Rt△DNE中，DE=

14

，EN=

9

2

，由勾股定理得：DN=

5

2

；
∴tan∠DNE=

DE

DN

=

2 14

5

；
∴tan∠DBE=tan∠DNE=

2 14

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定、圓周角定理、勾股定理以及解直角三角形等相關(guān)知識(shí)，難度適中．